Karekök Sorunun Üst Sınırının İspatı

[1] 'de Garey ve ark. Öklid TSP'sinin NP-bütünlüğü üzerinde çalışırken daha sonra Karekök Sorununun Toplamı olarak bilinecek olanı saptar.

Verilen tamsayılar $a_1, a_2, \ldots, a_n$ ve $L$, belirleyin $\sqrt{a_1} + \sqrt{a_2} + \cdots + \sqrt{a_n} < L$

Toplamı yeterince karşılaştırmak için kare köklerin hesaplanmasında asgari hassasiyet basamaklarının ne olduğu gerektiği açık olmadığından, bu sorunun NP'de olduğu bile görülmemektedir. $L$. Ancak, en iyi bilinen bir üst sınırdan bahsederler.$O(m2^n)$ nerede $m$"orijinal sembolik ifadedeki basamak sayısı" dır. Ne yazık ki, bu üst sınır sadece AM Odlyzko'nun kişisel iletişimine atfedilmiştir.

Herkes bu üst sınır için uygun bir referans var mı? Veya yayınlanmış bir referansın yokluğunda, bir kanıt veya kanıt taslağı da yararlı olacaktır.

Not: Bu bağlantının Bernikel ve ark. ark. [2] 2000'den itibaren daha büyük bir aritmetik ifadeler sınıfı için ayırma sınırları üzerinde. Çoğunlukla daha çağdaş referanslarla (yani: 1976 dolaylarında bilinenler) ve / veya sadece kare köklerin toplamı için uzmanlaşmış kanıtlarla ilgileniyorum.

1. Garey, Michael R., Ronald L. Graham ve David S. Johnson. " Bazı NP-tam geometrik problemler ." Sekizinci yıllık ACM bilgisayar teorisi sempozyumu. ACM, 1976.

2. Burnikel, Christoph ve ark. " Radikalleri içeren aritmetik ifadeler için güçlü ve kolayca hesaplanabilen bir ayrım ." Algoritmik 27.1 (2000): 87-99.

İşte oldukça özensiz bir taslak. İzin Vermek$S = \sum_{i=1}^n \delta_i \sqrt{a_i}$ nerede $\delta_i \in \{\pm 1\}$. Bu bir cebirsel derece sayısıdır.$2^n$ ve en fazla yükseklik $H = (max(a_i))^{n}$. Şimdi kontrol etmek kolaydır$S = 0$ (hatta yapılabilir $TC^0$- bakınız bu ) .Eğer$S \neq 0$ o zaman $0$ bir miktarla (çünkü bir cebirsel sayı olduğu ve bu nedenle tek değişkenli bir polinomun sıfır olmayan bir kökü olduğu için), $S$. Ne yazık ki, dereceye bağımlılık kare köklerin sayısında üsteldir (ve$a_i$işaretler farklıdır, bu derece sınırlama bile sıkıdır, ancak bu işaret değerlendirmesinin ele alınması kolaydır). İhtiyaç duyulan hassasiyet dolayısıyla kare köklerin sayısında üsteldir.$2^n$-bits $S$. Şimdi her birini kısaltmak için yeterli$\sqrt{a_i}$ söylemek $2^{10n}$işaretin doğru olduğundan emin olmak için bitler. Bu, Newton yinelemesinin polinom birçok adımıyla kolayca yapılabilir). Şimdi, toplamın pozitif olup olmadığını kontrol etmekle ilgilidir, ki bu sadece toplama ve dolayısıyla toplamlardaki bit sayısında doğrusaldır. Bu hesaplamanın bir BSS makinesinde Polinom zamanında olduğuna dikkat edin. Ayrıca, minimal polinom ile doğrudan hesaplama yapmadığımızı da unutmayın.$S$büyük katsayılara sahip ve çirkin görünebilir, sadece kare kökleri kesmemiz gereken hassasiyet hakkında mantık kullanırız. Daha fazla bilgi için Tiwari'nin belgesine bakın .