Tamamen unimodüler tamsayılı bir doğrusal programı ne kadar hızlı çözebiliriz?

(Bu, bu sorunun ve cevabının bir takibidir .)

Aşağıdaki tamamen unimodular (TU) tamsayılı doğrusal program (ILP) var. Burada girişin bir parçası olarak verilen tüm pozitif tamsayılardır. X i j değişkenlerinin belirtilen bir alt kümesi sıfıra ayarlanır ve geri kalanı pozitif integral değerleri alabilir:$\ell,m,n_{1},n_{2},\ldots,n_{\ell},c_{1},c_{2},\ldots,c_{m},w$$x_{ij}$

küçültmek

$\sum_{j=1}^{m}c_{j}\sum_{i=1}^{\ell}x_{ij}$

Tabi:

$\sum_{j=1}^{m}x_{ij}=n_{i}\,\,\forall i$

$\sum_{i=1}^{\ell}x_{ij}\ge w\,\,\forall j$

Standart formun katsayılı matrisi - ( 1 , 0 , 1) girişleri olan matristir .$(2\ell+m)\times \ell m$${-1,0,1}$

Sorum şu:

Böyle bir ILP'yi çözen polinom-zaman algoritmalarının çalışma süresi için bilinen en iyi üst sınırlar nelerdir? Beni bu konuda referanslara götürebilir misiniz?

Bazı araştırmalar yaptım, ancak çoğu yerde bir TU ILP'nin polinom zamanında LP için polinom-zaman algoritmaları kullanılarak çözülebileceğini söyleyerek durdular. Gelecek vaat eden bir şey, Tardos [1] tarafından 1986 tarihli bir yazıdır ve burada bu tür sorunların katsayılı matris boyutunda polinom zaman içinde çözülebileceğini kanıtlamıştır. Bununla birlikte, kağıttan anlayabildiğim kadarıyla, bu algoritmanın çalışma süresi, LP'yi çözmek için bir polinom-zaman algoritmasının çalışma zamanına bağlıdır.

Bu özel durumu (TU ILP'nin) çözen algoritmalarını LP problemini çözen genel algoritmalardan çok daha hızlı biliyor muyuz?

Değilse,

LP için hangi algoritma böyle bir ILP'yi en hızlı şekilde çözer (asimptotik anlamda)?

[1] Birleştirici doğrusal programları çözmek için kuvvetli bir polinom algoritması, Eva Tardos, Operations Research 34 (2), 1986

İnanıyorum tamamen unimodular matrislerin bir sınıf üzerinde Yannakakis tarafından, TU İLP özel bir durum (bir bitişiklik matrisi olarak katsayı matrisi görerek elde bir ikili grafikte hiçbir garip döngüler olduğunda kullanıcılar) için sorunuza bir cevap verir.

Bu yazıda , bütünüyle unimodüler matrisleri işleyen gibi görünen bir doğrusal programlar sınıfı için Polinom algoritmalarına bir referans var , ancak LP'ler için jenerik algoritmalarla karşılaştırıldığında ne kadar verimli olduğu konusunda emin değilim.

$O([n^3/\ln n]L)$

Tamamen unimodüler LP'nin, burada bir "dejenerasyon varsayımı" - bağlantısı altında kuvvetle polinom zamanında çözülebilir olduğu gösterilmiştir (bu nedenle, eğer ILP, aynı varsayımlara sahip Tamamen Unimodüler (TU) bir formülasyona sahipse, bu algoritma, bu TU ILP'yi çözecektir. Güçlü polinom zamanı: Bu, Tardos'un yöntemlerinden bir gelişmedir ve bir TU (Tamamen Unimodüler) ILP formülasyonuna daha sıkı sınırlar gerektirir.