Tepe kapaklarının sayısını saymak: ne zaman zordur?

Belirli bir grafiğinin köşe kapaklarının sayısını saymak için # P-complete problemini düşünün .$G = (V, E)$

Böyle bir sorunun sertliğinin bazı parametrelerine göre nasıl değiştiğini gösteren herhangi bir sonuç olup olmadığını bilmek istiyorum (örneğin, ).d = | E $G$$d = \frac{|E|}{|V|}$

Benim hissim, seyrek olduğu ve yoğun olduğu zaman sorunun daha kolay olması ve "ortada" olması zor olması gerektiğidir . Gerçekten böyle mi?G $G$$G$$G$

Belirli bir grafiğin köşe kapaklarının sayısını hesaplamadaki #VC problemi, 3-düzenli grafikler için # P-zor olmaya devam etmektedir; bakınız örneğin [Greenhill, 2000].

#VC sorununun en fazla kenarına sahip grafikler için # P-sabit kaldığını göstermek için , burada , köşe sayısıdır ve , büyük bir boyut ekleyerek 3 normal durumdan yeterli bağımsız küme (doğrusal boyutta). Bağımsız bir küme eklerseniz köşe kapaklarının sayısı aynı kalır.$c\cdot n$$n$$0<c<3/2$

Benzer şekilde, #VC sorununun en az kenarlı grafikler için # P-sabit kaldığını göstermek için , burada köşe noktası sayısıdır ve , yeterince büyük klik bileşeni (doğrusal boyutta). Bir grafiğe boyutunda bir kırpma eklerseniz , köşe kapaklarının sayısı ile çarpılır .$c\cdot n^2$$n$$0<c<1/2$$p+1$$p$

Catherine S. Greenhill: Seyrek grafikler ve hipergraflarda renklerin ve bağımsız kümelerin sayılmasının karmaşıklığı . Hesaplama Karmaşıklığı 9 (1): 52-72 (2000)

Yaroslav'ın cevabının ardından, Luby ve Vigoda #IS için bir yoğunluk koşulu altında ilk FPRAS'ı gösterdi (maksimum derece 4, Weitz'in sonucundan daha zayıf olduğunu düşünüyorum), Dyer, Frieze ve Jerrum ise FPRAS olmadığını gösterdi #IS, RP = NP olmadığı sürece grafiğin maksimum derecesi 25 ise.

Referanslar:

Martin Dyer, Alan Frieze ve Mark Jerrum. Seyrek grafiklerde bağımsız kümeleri saymada. FOCS 1999.

Luby ve Eric Vigoda Karşılaştırması. Yaklaşık dört taneye kadar sayma. STOC 1997.

Ayrıca, Jerrum'un "Sayma, örnekleme ve bütünleştirme: algoritmalar ve karmaşıklık" ders notlarına da bakınız.

Üstel zaman karmaşıklığı ile ilgili olarak, genel örnekleri ve sürekli maksimum derecede örnekleri aynı şekilde zor: bir seyreltme lemması Impagliazzo, Paturi, Zane'in (2002) gösterir bu ait-Değişken örnekleri -Sat örneklerine azaltılabilir -Sat içinde en fazla yan tümcesi ile . Husfeldt ve Wahlén ile ortak çalışmada gözlemlendiği gibi , sparsifikasyon lemması, -Sat'ın sayım versiyonları için ve özellikle -Sat (bağımsız setlerin sayılması ve tepe kapaklarının sayılmasına eşdeğer) sayımı için de çalışır.$n$$d$$d$$f(d,\epsilon)\cdot n$$\exp(\epsilon n)$$d$$2$

Ayrıca, bir -vertex grafiğindeki bağımsız kümelerin sayılması , üstel zaman hipotezi başarısız olmadıkça time yapılamaz. Bu, Dagstuhl Seminer Hesaplamalı Sayım sırasında yaptığı konuşmada henüz yayınlanmamış bir gözlemdir .$n$$\exp(o(n))$

Set, tamamlayıcı bağımsız bir küme olduğunda bir tepe noktasıdır, bu nedenle bu sorun bağımsız kümeleri saymaya eşdeğerdir.

Bağımsız kümelerin cebirsel sayımı, sınırlı sınırlı genişlikteki grafikler için FPT'dir. Örneğin, Courcelle'in "Bağımsızlık polinomunun bir genellemesini hesapladıkları" çok değişkenli bir interlace polinomuna ve sınırlı klişe genişlikli grafikler için hesaplanmasına "bakın. Bağımsızlık polinomu katsayılarının toplanması, bağımsız kümelerin sayısını verir.

Maksimum derece 3 olan grafikler sınırsız klips genişliğine sahip olabilir.

Problem "korelasyon bozulması" gösterdiğinde bağımsız kümelerin sayısal sayımı izlenebilir. Dror Weitz ( STOC'06 ), maksimum derecesi grafikler ağırlıklı bağımsız kümeleri saymak için deterministik FPTAS verir ağırlığı ne olan$d$$\lambda$

_{(kaynak: yaroslavvb.com )}

Düzenli (ağırlıksız) bağımsız set sayımı karşılık gelir, bu nedenle algoritması maksimum derece 5 grafikteki köşe kapaklarının sayısı için FPTAS verir.$\lambda=1$

Algoritması, her bir tepe noktasında kendinden kaçınan bir yürüyüş ağacı oluşturmaya ve bu ağacı derinliğinde kesmeye dayanmaktadır . Kendinden kaçınan yürüyüş ağaçlarının dallanma faktörü, küçük derinlik iyi bir yaklaşım sağladığı aralığını belirler ve yukarıdaki formül, bu dallanma faktörünün üst sınırına ulaşmak için maksimum grafik derecesi kullanılarak türetilir.$d$$\lambda$$d$