PH için bir Zaman Hiyerarşisi teoremi var mı?

O zaman içinde polinom hiyerarşi çözülebilir içinde sorunlar olduğunu doğru mudur içinde çözülebilir değildir (polinom hiyerarşinin bazı düzeyde makineyi Turing ardışımı ile) herhangi seviyesindeki polinom hiyerarşisi? Başka bir deyişle - polinom hiyerarşisi için P ve NP'de olduğu gibi bir zaman hiyerarşisi teoremi var mı? Varsa - bir referans harika olurdu. $O(n^k)$ $O(n^{k-1})$

Karşılaştığım zorluk, simulasyon makinesinin, hiyerarşinin tüm seviyelerinden makineleri simüle ederken, hiyerarşinin herhangi bir düzeyinde olmamasıdır. Hangi ilgili soruya yol açar - böyle bir simülasyon makinesinin ait olduğu en küçük sınıf nedir? değişimli (veya / ) ile bir sınıf tanımlamanın bir anlamı var mı ? $O(n)$ $O(\log n)$ $O(\log \log n)$

— Joseph
kaynak

Sayısallaştırılmış Boole Formülü PSPACE-tamamlandığından, doğrusal sayıda alternatif kullanmak size PSPACE verir.

— Derrick Stolee

Yanıtlar:

Evet. Örneğin, (direkt olarak rasgele makineleri taklit araçlar ile) hiyerarşisi teoremi olağan deliller her için olduğunu göstermek için kullanılabilir , bir alt grubu değildir . den ye nedeni $c \geq 1$ $\Sigma_c TIME[n^k]$ $\Pi_c TIME[n^{k-1}]$ $\Sigma$ $\Pi$ bu köşegenleştirme argümanında, simüle ettiğimiz makinenin "karşıtını" yapmak zorundayız, bu yüzden simulasyon makinesi varoluş modundayken evrensel modda çalıştırmak zorundayız.

- arasında geçiş yapmadan da böyle bir sonuç elde edebilirsiniz : her , bir alt kümesi değildir . Bu, Zak'a bağlı zaman hiyerarşisinin kanıtı kullanılarak yapılabilir (başvuru: " Bir Turing makinesi zaman hiyerarşisi ", Teorik Bilgisayar Bilimi 26 (3): 327--333, 1983). Zaman hiyerarşisi teoreminin bu versiyonuna açık bir referans için bkz. Dieter van Melkebeek $\Sigma$ $\Pi$ $c \geq 1$ $\Sigma_c TIME[n^k]$ $\Sigma_c TIME[n^{k-1}]$ " Memnuniyeti ve İlgili Sorunlar için Daha Düşük Sınırlar Araştırması " (ana sayfasında mevcuttur).

— Ryan Williams
kaynak

Bu cevap, hiyerarşinin her farklı seviyesi için bir zaman hiyerarşi teoreminin varlığını çok açık bir şekilde göstermektedir. Bu, PH için bir bütün olarak böyle bir teoremin varlığını hemen göstermez.

— Joseph

Daha güçlü sorunuzun onaylanması zor olacaktır; Bu ima

. Bir vardır varsayalım

ve bir dil

içinde

değil

her için

. Sonra

L O G S P A C E \neq N P

$LOGSPACE \neq NP$

c

$c$

L

$L$

Σ_{c} T I M E [n^{k}]

$\Sigma_c TIME[n^k]$

Σ_{d} T I M E [n^{k - 1}]

$\Sigma_d TIME[n^{k-1}]$

d

$d$

. Her bir dil, bu ise

olan

bazı

bağlı olarak

, (a Savitch teoremi tipi bağımsız değişken ile). Dolayısıyla,

, aslında

L O G S P A C E \neq N P

$LOGSPACE \neq NP$

L \in L O G S P A C E

$L \in LOGSPACE$

Σ_{d} T I M E [n^{2}]

$\Sigma_d TIME[n^2]$

d

$d$

L

$L$

L O G S P A C E = N P

$LOGSPACE = NP$

İçindedir

içinbazı

göstermek istediğiniz ne çelişkili.

Σ_{c} T I M E [n^{k}]

$\Sigma_c TIME[n^k]$

Σ_{d} T I M E [n^{2}]

$\Sigma_d TIME[n^2]$

d

$d$

— Ryan Williams

Gözden geçirilmiş sorunun cevabı (sorunun 4. düzeltmesi) hayırdır. Bir karar problemi L , O ( n ^k ) 'da bir ∑ _i P makinesi tarafından çözülebilirse, L doğrusal bir zamanda bir ing _i₊₁ P makinesi olan L için kehanetle bir Turing makinesi tarafından çözülebilir . Bu nedenle, ∑ _i TIME [O ( n ^k )] ⊆ Σ _i₊₁ TIME [O ( n )].

— Tsuyoshi Ito
kaynak

Hayır,

tanımının çalışma şekli bu değildir . Eğer

tüm

, daha sonra

. Eğer

Σ_{j} T I M E [t (n)]

$\Sigma_j TIME[t(n)]$

Σ_{j} T I M E [O (n^{k})] \subseteq Σ_{j + 1} T I M E [O (n)]

$\Sigma_j TIME[O(n^k)] \subseteq \Sigma_{j+1} TIME[O(n)]$

j, k

$j,k$

N P \neq c o N P

$NP \neq coNP$

her

çalışıyor olsun Tautoloji için belirsiz bir algoritmanın zamanı. Sonra

N P = c o N P

$NP = coNP$

Σ_{j} T I M E [O (n^{k})] \subseteq Σ_{j + 1} T I M E [O (n)]

$\Sigma_j TIME[O(n^k)] \subseteq \Sigma_{j+1} TIME[O(n)]$

j, k

$j,k$

O (n^{c})

$O(n^c)$

; burada ilk içerme varsayım ve ikinci içerme standart bir simülasyon argümanından gelir. Bu bir çelişki.

N T I M E [O (n^{c^{2}})] \subseteq Σ_{2} T I M E [O (n)] \subseteq N T I M E [O (n^{c})]

$NTIME[O(n^{c^2})] \subseteq \Sigma_{2} TIME[O(n)] \subseteq NTIME[O(n^{c})]$

— Ryan Williams

@Ryan: Kullandığım tanım: L∈ΣiTIME [t (n)] bir dil varsa O∈Σ (i − 1) P ve belirsiz bir t (n)-zamanlı Turing makinesi L. Bunun standart tanım olduğunu düşündüm, ancak iddiamı destekleyecek herhangi bir referansım yok. Kullandığınız tanım nedir?

— Tsuyoshi Ito

Tanım:

iff doğrusal bir zaman tahmini varsa

öyle ki

L \in Σ_{i} T I M E [t (n)]

$L \in \Sigma_i TIME[t(n)]$

R (x, y_{1}, \dots, y_{i})

$R(x,y_1,\ldots,y_i)$

doğrudur.

x \in L ⟺ (\exists y_{1} : | y_{1} | \leq t (| x |)) \dots (\forall y_{i} : | y_{i} | \leq t (| x |)) R (x, y_{1}, \dots, y_{i})

$x \in L \iff (\exists y_1 : |y_1|\leq t(|x|))\cdots (\forall y_i : |y_i| \leq t(|x|))R(x,y_1,\ldots,y_i)$

— Ryan Williams

@Ryan: Tamam, bu tanımı bilmiyordum. Eğer askerin sormak istediği buysa cevabım geçerli değildir.

— Tsuyoshi Ito