NP için Komple sorunların sonuçları

tam problem nelerdir?$NP\cap coNP$

Bu (geniş) açık bir sorundur; olduğu gibi, neredeyse hiçbir şey bilmiyoruz. Spesifik olarak, problemlerini ispatlamanın hilesi nedeniyle, şu anda var olandan çok farklı ispat tekniklerine ihtiyacımız var. Bu nedenle, sonuçların tartışılması makul bir şekilde “Bu kadar güçlü, yeni ispat tekniklerine sahip olmak ne anlama gelirdi?” Konulu bir teğet içermelidir.$NP \cap coNP$

Konuyla ilgili nispeten yakın tarihli bir tartışma için, 2007'den itibaren Algoritmalara İlişkin ACM İşlemlerinde David Johnson'ın 26. NP-Tamamlanma sütunu var ( PDF ). David'in problemlerinin varlığının kanıtlanması sorunu ile ilgili söylediklerinin bazılarını izin ver ve düşüncelerimi ekle:$NP \cap coNP$

Şu anda, üyeliğinin en güçlü kanıtı henüz onlar için bir polinom zaman algoritması bulmayı başaramadığımız anlamında, üyeliğine yalnızca "zayıf" doğal adaylarımız var. Birkaç aday listeliyor: KÜÇÜK FAKTÖR, BASİT STOCHASTİK OYUN ve ORTAK PAYOFF OYUNU. Bu sorunların bazı "tuhaflıklarından" bazıları, bunları çözmek için en iyi sezgisel çalışma zamanlarından gelir, örneğin, KÜÇÜK FAKTÖR, yani INTEGER FAKTÖRÜ , için rasgele zaman karmaşıklığına sahiptir. . (Eğer tam problemler varsa , o zaman bu kadar üstel değildir (ne katlanarak ne de oldukça polinomdur)$NP \cap coNP - P$≤ k p o l y ( n ) 2 √$\le k$$poly(n) 2^{\sqrt{k log(k)}}$$NP \cap coNP - P$sınıfın çalışma zamanı endemik? )

Sorun bir tek içindedir: Yani özellikle biz böyle bir şey ispat etmek isteyeyim iff , 3SAT ve için Cook'un teoremi gibi yani bütünlük sonucu . İçin , bu tür deliller evrensel polinom zamanlı düşüşleri, (ve favori, ek kısıtlamalar, örneğin Cook-azalmalar, Karp-azalmalar düzeltmek). Sonuç olarak, polinom-zaman azaltma teknikleri altında, sınıfın polinom-zaman tanınabilir bir temsili olması durumunda olması gerekir. İçin , biz de belirli olmayan Turing makineleri kullanabileceği bir polinom, içinde durması$P$$NP \cap coNP = P$$NP$$NP$$NP$$p(|x|)$P S P A C E P, adım sayısı. David'in belirttiği gibi, ve # gibi diğer sınıflar için de (statünün daha açık olduğu durumlarda) benzer temsillerimiz var .$PSPACE$$P$

Bununla birlikte, için benzer bir temsil sağlamanın zorluğu, "doğal" analoğun , Problemini temsil içinde izin vermesi ve bu nedenle kararsız olmasıdır . Diğer bir deyişle, , tamamlayıcı dilleri tanıyan, deterministik olmayan iki Turing makinesiyle temsil etme girişimini düşünün :$NP \cap coNP$N P ∩ c o N P$NP \cap coNP$

Soru: Bir Turing Makinesi girişinde durur mu?$M^*$$x \in {0,1}^n$

İki doğrusal zamanlı Turing makineleri Construct ve aşağıdaki gibi. girişinde , girişi okur ve her zaman kabul eder. ,ve kabul adımlarla.$M_1$$M_2$$y$$M_1$$M_2$$|y| \ge |x|$$M^*$$x$$\le |y|$

Bu nedenle, ve tamamlayıcı dilleri kabul IFF girişi durdurmak değil . Bu nedenle, çelişki ile, iki polinom zaman Turing makinesinin tamamlayıcı dilleri kabul edip etmediğine karar vermek kararsızdır.$M_1$$M_2$M ∗ x $M^*$$x$

Bu nedenle, problemlerinin "doğal" temsili, polinom-zaman tanınabilir değildir. Sorun devam ediyor: sorunlarını, polinom-zamanının tanınabileceği şekilde nasıl temsil ediyorsunuz ?$NP \cap coNP$$NP \cap coNP$

Bu konuda önemli bir çalışma yapılmamasına karşın, kanıtlanması için başarılı bir şekilde çözümlenmesi gerekiyor . Bu nedenle, bütünlüğünü çözebilecek bir ispat tekniğinin varlığının burada daha büyük bir hikaye olacağını iddia - sorunlarının "otomatik" sonuçları değil (örneğin, karmaşıklık sınıfları, Zaten farkında olduğumuzdan (ya da daha doğrusu gelecekte varsayımsal olarak farkında olacağımızdan ) çökmek .$NP \cap coNP$$NP \cap coNP$$NP \cap coNP$