Verilen kardinalitenin minimum ağırlık alt ormanı

Bu soru üzerine sorulan bir soruya motive edilmiş stackoverflow .

Eğer köklü ağaç verilir varsayalım (yani bir kök var ve düğümleri çocuk vb var) üzerinde düğümleri (etiketli ).n 1 , 2 , … , $T$$n$$1, 2, \dots, n$

Her tepe noktası , negatif olmayan bir tamsayı ağırlığına sahiptir: .w $i$$w_i$

Ayrıca, bir tamsayı verilir , öyle ki .1 ≤ k ≤ $k$$1 \le k \le n$

Bir düğüm grubunun ağırlığı , düğümlerin ağırlıklarının toplamıdır: .S ⊆ { 1 , 2 , … , n } ∑ s ∈ S w $W(S)$$S \subseteq \{1,2,\dots, n\}$$\sum_{s \in S} w_s$

Giriş , ve ,w i$T$$w_i$$k$

Görev, tam olarak düğümüne (yani ) sahip olacağı şekilde minimum ağırlık ormanı * , ' yi bulmaktır .T S k | S | = > $S$$T$$S$$k$$|S| = > k$

Herhangi subforest diğer bir deyişle, ve , öyle ki , . T | S ′ | = k W ( S ) ≤ W ( S ′$S'$$T$$|S'| = k$$W(S) \leq W(S')$

Her bir düğümün çocuk sayısı sınırlıysa (örneğin ikili ağaçlar), dinamik programlama kullanan bir polinom zaman algoritması vardır.

Bunun genel ağaçlar için NP-Hard olduğunu hissediyorum, ancak herhangi bir referans / kanıt bulamadım. Hatta baktım burada ama yardımcı olabilecek bir şey bulamadık. bile bu NP-Hard olarak kalacaktır (ve bunu kanıtlamak daha kolay olabilir).$w_i \in \{0,1\}$

Bu iyi incelenmiş bir problem gibi görünüyor.

Herkes bunun NP-Zor bir sorun olup olmadığını biliyor mu / bilinen bir P zaman algoritması var mı?

* Bir alt orman bir alt kümesidir ağaç ait düğümlerin eğer öyle ki, , o zaman tüm çocukları içindedir de. (yani köklü alt ağaçlarının ayrık birliğidir ).S T x ∈ S x S $T$$S$$T$$x \in S$$x$$S$$T$

Not: Açık bir şeyi kaçırdığım ve sorunun gerçekten konu dışı olduğu ortaya çıkarsa lütfen beni affedin.

İkili bir ağaç çözümüne benzer şekilde, derece kısıtlaması olmayan bir ağaç üzerinde polinom zamanda çözebilirsiniz: İlk olarak, her düğümün bir "sayım" olacak şekilde sorunu genelleştirin ve sorun bir subforest bulmaktır S sayımı ait k = Σ i ∈ S c i . Bu sürüme dinamik programlama yaklaşımını genelleştirin (sabit bir C sayısı verilen bir tabloyla çalışır, tam olarak C sayısına sahip alt ağaçtaki minimum ağırlık alt ormanı nedir ) $c_i\in\{0,1\}$$S$$k=\sum_{i\in S} c_i$$C$$C$

Orijinal ağacı 1 numaralı düğümlerle saklayın. Derecesi 2'den büyük olan her düğüm , deg ( v ) yapraklı ikili bir ağaca bölünür (şekil önemli değildir). Yeni düğümlerin sayısı ve ağırlığı 0'dır. Yeni ağaçtaki sorunu çözün. Çözümü okurken herhangi bir yeni düğümü dikkate almayın; bu hala aynı ağırlığın bir alt ormanı olacaktır. Herhangi bir orijinal alt orman aynı ağırlıktaki yeni bir alt ormana dönüştüğü için bulunan alt orman en uygunudur.$v$$(v)$