Bu sonlu dili tanımlayan polinom boyutlu CFG var mı?

Permütasyon var mı $\pi_1,\pi_2$ ve polinom boyutu $|w|=n$) sonlu dili tanımlayan bağlamsız gramer $\{w \pi_1(w) \pi_2(w)\}$ alfabenin üzerinde $\{0,1\}$?

GÜNCELLEME: Bir permütasyon için $\pi$ bu mümkün. $\pi$ "Tersine çevirme", tersine çevirme veya tersine çevirmede nispeten küçük bir değişikliktir.

Chomsky normal formu

Bir CFG CNF (Chomsky normal form) şeklindeyse, tek üretimler formdaysa $A \rightarrow a$ ve $A \rightarrow BC$; bir dilbilgisi CNF'ye sadece karesel patlama ile getirilebilir.

Bir dilbilgisi için $G$CNF, biz Nice'e alt-kelime Lemma vardır: Eğer$G$ bir kelime üretir $w$, sonra her biri için $\ell \leq w$, bir alt kelime var $x$ nın-nin $w$ uzunluk $\ell/2 \leq |x| < \ell$ terminali olmayan $G$. İspat: (İkili) sözdizimi ağacını, her zaman daha uzun alt kelimeyi oluşturan çocuğa gider. En azından büyüklükte bir alt kelimeyle başladıysanız$\ell$, aşağıya gidemezsin $\ell/2$.

Çözüm

Genelliği kaybetmeden, bir dilbilgisi $L_n$ (belirli bir dil $\pi_1,\pi_2 \in S_n$) Chomsky Normal Formdadır. Dil$L_n$ kelimelerden oluşur $w(x) = x\pi_1(x)\pi_2(x)$ hepsi için $x \in \{0,1\}^n$.

Her biri için Lemma Alt Kelimesini Kullanma $w(x)$ bir alt dize bulabiliriz $s(x)$ uzunluk

Farz et ki $p(x) = p(y)$ ve $A(x) = A(y)$. Dan beri$|s(x)|<n$, alt kelime $s(x)$ her ikisiyle de kesişemez $x$ bölüm ve $\pi_2(x)$ parçası $w(x)$; bunun ayrık olduğunu varsayabiliriz$x$Bölüm. Böylece$w(x)$ formda $x \alpha s(x) \beta$. Bu,$A(x)$ tam olarak bir dize, yani $s(x)$. bu nedenle$s(x) = s(y)$.

şimdi $s(y)$ ikisiyle de kesişir $\pi_1(y)$ veya $\pi_2(y)$ en azından $n/4$ yerleştirir ve böylece en azından $n/4$ uçları $y$. Bu nedenle en fazla$2^{3n/4}$ Teller $y \in \{0,1\}^n$ sahip olabilmek $p(x) = p(y)$ ve $A(x) = A(y)$. En fazla olduğu için$3n$ için olanaklar $p(y)$, en azından var

Yorum: Aynı kanıt aşağıdaki durumlarda da geçerlidir: $\pi_1,\pi_2 \in S_{\{0,1\}^n}$, yani herkesin setindeki keyfi permütasyonlardır $n$bit kelimeler. verilmiş$n/4$ uçları $\pi_i(y)$, tam olarak var $2^{3n/4}$ preimages $y$.

Daha fazla örnek

Aynı yöntemi kullanarak, her karakterin tam olarak iki kez göründüğü dilin, alfabe boyutunda üstel boyutlu CFG gerektirdiğini kanıtlayabilir. Biz "iki kez" herhangi bir alt kümesiyle değiştirebilirsiniz$\mathbb{N}$ dört önemsiz olandan (yoksayma) $0$, hiçbirini içermiyor $\mathbb{N}_{\geq 1}$ veya hepsi).

Bu kanıt yöntemi için bir referans takdir ediyorum.