Treewthth kavramının kökeni

Bugün benim sorum (her zamanki gibi) biraz saçma; ama nazik düşünmenizi rica ediyorum.

Treewthth kavramının arkasındaki genesis ve / veya motivasyon hakkında bilmek istedim. FPT algoritmalarında kullanıldığından eminim ama bu kavramın tanımlanmasının nedeni bu olduğunu sanmıyorum.

Bu konuda yazılan notları Prof Robin Thomas sınıfında yazdım . Sanırım bu kavramın bazı uygulamalarını anlıyorum (ağacın ayırma özelliklerini ayrıştırılan grafiğe aktarır gibi), ancak bazı nedenlerden dolayı, bu kavramın geliştirilmesinin sebebinin bir grafiğin yakınlığını ölçmek olduğuna gerçekten inanmıyorum bir ağaca.

Kendimi daha net hale getirmeye çalışacağım (Yapabileceğimden emin değilim, lütfen soru net değilse bana bildirin). Bu kavramın sözde "ödünç alındığı" başka bir matematik dalında başka yerlerde de benzer kavramların olup olmadığını bilmek istiyorum. Tahminim topoloji olacak - ama geçmişim olmadığı için hiçbir şey söyleyemem.

Bu konuyu merak etmemin temel nedeni şöyle olurdu - tanımını ilk okuduğumda, birinin neden ve nasıl düşündüğünden ve sonunda ne olacağından emin değildim. Eğer soru hala net değilse, nihayet böyle söylemeye çalışacağım - treewthth kavramının olmadığını iddia edelim. Hangi doğal soruların (veya bazı matematik teoremlerinin / kavramlarının) ayrık ayarlara yönelik uzantıları, bir treewthth'ler olarak bir tanımın (ilgili kelimeyi kullanmama izin ver) kullanılmasına yol açacaktır.

Neil Robertson ve beni ağaç genişliğine neyin yönlendirdiğini gerçekten bilmek istiyorsan, algoritmalar hiç değildi. Wagner'in, herhangi bir sonsuz grafik setinde, birinin bir diğerinin küçük olduğu varsayımını çözmeye çalışıyorduk ve en başından beri haklıydık. K-vertex yolu olmayan grafikleri kısıtlarsak bunun doğru olduğunu biliyorduk; nedenini açıklamama izin ver. Tüm bu grafiklerin basit bir yapıya sahip olduğunu biliyorduk (daha doğrusu, k-köşe yolu olmayan her grafik bu yapıya sahipti ve bu yapıya sahip her grafik 2 ^ k-köşe yola sahip değil); ve bu sonsuz yapıdaki her sonsuz grafik setinde, bunlardan birinin diğerinin küçük olduğunu biliyorduk. Böylece Wagner'in varsayımı, maksimum yol uzunluğuna bağlı grafikler için doğruydu.

K-yıldızı olmayan grafiklerin minör olduğu doğru olduğunu biliyorduk, çünkü böyle grafikler için bir yapı teoremimiz vardı. Wagner'in varsayımını ispatlamak için kullanabileceğimiz ve buna uygun bir yapı teoremine sahip olan ve bizi yol genişliğine götüren daha genel küçükleri aramaya çalıştık; HERHANGİ bir ağacı küçük olarak dışlayın ve sınırlı bir yol genişliğine sahip olursunuz ve eğer yol genişliğini sınırladıysanız, o zaman bir küçük olarak sahip olamayacağınız ağaçlar vardır. (Bu bizim için zor bir teoremdi; ilk Grafik Küçükler belgesinde çok sert bir kanıtımız vardı, okumayın, çok daha kolay hale getirilebilir.) Ama Wagner'in sınırlı yol genişliğine sahip grafikler için varsayımını kanıtlayabilirdik. ve bunun anlamı, sabit bir ağacı minör olarak içermeyen grafikler için geçerliydi; daha önce bahsettiğim yolun ve yıldız durumlarının büyük bir genellemesi.

Neyse, bununla daha da ilerlemeye çalıştık. Genel grafikleri yapamadık, bu yüzden düzlemsel grafikler hakkında düşündük. Düzlemsel grafikler için sabit olarak düzlemsel grafik içermeyen bir yapı teoremi bulduk (bu kolaydı); ağaç genişliğine bağlıydı. Herhangi bir sabit düzlemsel grafik için, onu küçük gibi içermeyen tüm düzlemsel grafiklerin ağaç genişliğini sınırladığını ispatladık. Tahmin edebileceğiniz gibi, bu gerçekten heyecan vericiydi; tesadüfen, düzlemsel grafikleri hariç tutmak için yapı teoremi (daha büyük düzlemsel grafiklerin içinde) ağaçları dışlamak için yapı teoreminde doğal bir büküm vardı (genel grafiklerin içinde). Doğru bir şey yaptığımızı hissettik. Bu da Wagner'in bütün düzlemsel grafikler için varsayımını ispatlamamızı sağladı, çünkü bu yapı teoremini yaptık.

Ağaç genişliği, daha büyük düzlemsel grafiklerin içine düzlemsel grafikleri dışlamak için çalıştığından, düzlemsel olmayan grafiklerin içine düzlemsel grafikleri dışlamak için işe yarayıp yaramadığı doğal bir soruydu. minör ağaç genişliğini sınırladı mı? Bunu uzun süre kanıtlayamadık, ancak genel grafiklerin genişliğini düşünmemiz gerekiyordu. Ve bir zamanlar ağaç genişliği kavramına sahip olduğumuzda, algoritmalar için iyi olduğu çok açıktı. (Ve evet, Halin'in zaten ağaç genişliği hakkında düşündüğü hakkında hiçbir fikrimiz yoktu.)

İşte ağaç genişliği konseptiyle kendiniz nasıl ortaya çıkabileceğinizi öğrenin.

Aşağıdaki grafikteki bağımsız kümelerin sayısını saymak istediğinizi varsayalım.

Bağımsız kümeler, üst düğümün bulunduğu yerlere ve meşgul olduğu yerlere ayrılabilir

Şimdi, üst düğümün işgal edilip edilmediğini bilmenin, her alt problemdeki bağımsız kümelerin sayısını ayrı ayrı sayabilir ve çarpabilirsiniz. Bu işlemi tekrarlayarak tekrarlamak, size grafik ayırıcılara dayalı bağımsız kümeleri saymak için bir algoritma verir.

Şimdi, artık bir ağacınız olmadığını varsayalım. Bu, ayırıcıların daha büyük olduğu anlamına gelir, ancak aynı fikri kullanabilirsiniz. Aşağıdaki grafikte bağımsız kümeleri saymayı düşünün.

Aşağıdakileri aldığınız ayırıcıdaki sorunu alt problemlere bölmekle aynı fikri kullanın

Önceki örnekte olduğu gibi, toplamdaki her terim ayırıcı boyunca iki küçük sayma görevine ayrılır.

Toplamda, önceki örnektekinden daha fazla terimimiz olduğunu unutmayın; çünkü ayırıcımızdaki tüm konfigürasyonları saymak zorundayız, ki bunlar ayırıcının boyutuyla katlanarak büyüyebilir (bu durumda boyut 2).

Ağaç parçalanması, bu özyinelemeli bölümleme adımlarını kompakt bir şekilde saklamak için bir veri yapısıdır. Aşağıdaki grafiği ve bunun ağaç ayrışmasını göz önünde bulundurun

Bu ayrıştırmayı kullanarak saymak için, önce değerleri 2 alt probleme ayıran 3,6 nod düğümlerinde sabitleyeceksiniz. İlk alt problemde ayrıca, daha küçük iki alt bölüme ayrılan düğüm 5'i sabitleyeceksiniz.

Optimal özyinelemeli ayrışmadaki en büyük ayırıcının boyutu tam olarak ağaç genişliğidir. Daha büyük sayma problemleri için en büyük ayırıcının boyutu çalışma zamanına hakimdir, bu yüzden bu miktar bu kadar önemlidir.

Grafiğin bir ağaca ne kadar yakın olduğunu ölçen ağaç genişliği kavramına gelince, sezgisel hale getirmenin bir yolu ağacın ayrışmasının alternatif türevine bakmaktır - kordal grafiklerle yazışmalardan. İlk önce grafiği sırayla köşeleri çaprazlayarak ve her bir köşenin tüm "daha yüksek dereceli" komşularını birbirine bağlayarak üçgenleyin.

Daha sonra, maksimum klibin alarak ve kesişimlerine göre bağlayarak maksimal bir ayırıcı olarak ağaç ayrıştırması oluşturun.

Özyinelemeli ayırıcı ve nirengi esaslı ağaç ayrışması inşa etme yaklaşımları eşdeğerdir. Ağaç genişliği + 1, grafiğin en uygun şekilde üçgenlenmesinde en büyük kesenin boyutudur ya da grafik zaten üçgenlendiyse, en büyük kesenin sadece boyutudur.

Bu nedenle, bir anlamda, treewthth tw'nin akor grafikleri, tek düğümler yerine en fazla tw + 1 boyutunda üst üste binen kliklere sahip olduğumuz ağaçlar olarak düşünülebilir. Akor olmayan grafikler, bazı uçurum kenarlarının eksik olduğu gibi "uçurum ağaçları" dır.

İşte bazı akor grafikleri ve bunların ağaç genişlikleri.

Törenin kendisinin daha önce verilmiş olan Robertson Seymour gazetesiyle başladığına inanıyorum. Ancak daha önceki bazı öncüller şöyle görünür:

• Bertelé, Umberto'dan gelen dinamik program programlama algoritmalarının davranışını kontrol edecek bir grafiğin "boyut" kavramı; Brioschi, Francesco (1972), Seri Olmayan Dinamik Programlama .

• Grafik üzerinde takip kaçırma oyunları kavramı, Parsons, TD'den (1976). Msgstr "Grafikte takip kaçırma". Grafik Teorisi ve Uygulamaları . Springer-Verlag. sayfa 426-441. Bunun bir varyantının daha sonra ağaç genişliğine eşdeğer olduğu gösterilmiştir: Seymour, Paul D .; Thomas, Robin (1993), "Ağaç genişliği için grafik arama ve min-max teoremi", Kombinatoryal Teori Dergisi, Seri B 58 (1): 22–33, doi: 10.1006 / jctb.1993.1027 .

• Ungar'dan başlayarak, düzlemsel grafikler için ayırıcı hiyerarşileri, Peter (1951), "Düzlemsel grafikler üzerine bir teorem", Londra Matematik Derneği Dergisi 1 (4): 256, doi: 10.1112 / jlms / s1-26.4.256 ve devam ediyor 1979-1980 arasında Lipton ve Tarjan tarafından birkaç bildiriyle basıldı. Bu tür bir hiyerarşideki en büyük ayırıcının boyutu treewthth ile yakından ilgilidir.

Robertson-Seymour fikirlerinin daha önce yüzmeye başlamış olabileceği bir zamana doğru ilerlerken, Grafik Kaçaklar II'den daha erken bir zamanda peşinden kaçış ve ayrılma fikirlerini açıkça bağlayan ve yol genişliğine eşdeğer bir genişlik nosyonunu tanımlayan bir makale de var. : Ellis, JA; Sudborough, İH; Turner, JS (1983), "Grafik ayrımı ve arama numarası", Proc. 1983 Allerton Conf. İletişim, Kontrol ve Bilgi İşlem Üzerine.

Grafik teorisi üzerine yaptığı monografisinde Reinhard Diestel, treewidth kavramını ve ağaç halinlerini Halin tarafından 1976 tarihli bir kağıda kadar izler (bu isimleri kullanmasa da). Ayrıca, bu makaleye, düzlemsel ızgara grafiklerinin sınırsız genişliğe sahip olduğu sonucuna atıfta bulunur. Tabii ki, daha sonra “Konsept'i yeniden keşfediyor, açıkçası Halin'in çalışmasından habersiz” olan Robertson ve Seymour'un makalesinden de bahsetti.

• Rudolf Halin. Grafikler için fonksiyonları, J. Geometry 8 (1976): 171–186$S$
• Reinhard Diestel. Graphentheorie , 3. Almanca baskısı, Notizen zu Kapitel 10. (Kitabın bazı İngilizce sürümleri ücretsiz olarak indirilebilir.)

Nosyonu ağaç genişliği [1] (ve benzer kavramı dal-genişliği ) ile seminal gazetelerde Robertson ve Seymour tarafından tanıtılmıştır Grafik Minör .

İlk olarak , bir grafiğinin sabit bir düzlemsel grafiğiyle büzülebilen bir alt çizelgesine sahip olması durumunda polinom-zaman algoritması testi elde etmek için ağaç genişliğini tanıttılar .$G$$H$

Bakınız: N. Robertson, PD Seymour. Grafik Küçükler. II. Ağaç genişliğinin algoritmik yönleri . JCT Series B (1986)