Sınırlı geçiş sayısının grafiklerini çizme

Fáry'nin teoremi , her bir kenarın düz bir çizgi parçası olması için geçişsiz basit bir düzlemsel grafiğin çizilebileceğini söylüyor.

Benim sorum, sınırlı geçiş sayısının grafikleri için benzer bir teorem olup olmadığıdır . Özellikle, k sayısı geçişli basit bir grafiğin çizimde k geçişleri olacak şekilde çizilebildiğini ve her kenarın bazı fonksiyon f için en fazla f (k) derece eğrisi olacağını söyleyebilir miyiz?

DÜZENLEME: David Eppstein'ın belirttiği gibi, Fáry'nin teoreminin k sayısı geçişli bir grafiğin çizimini ima ettiği kolayca görülmektedir, böylece her kenar en fazla k bükümü olan çokgen bir zincirdir. Yine de her kenarın sınırlı derece eğrileriyle çizilip çizilemeyeceğini merak ediyorum. Hsien-Chih Chang, eğer k 0, 1, 2, 3 ve f (k)> 1 ise f (k) = 1 olduğunu belirtir.

Bir grafiğin sınırlı geçiş sayısı varsa, çok sayıda modeldeki o sayıda geçişle (yani her kenar çokgen bir zincirdir, grafik çizim literatüründe sınırlı sayıda cebir eğrisinden çok daha yaygındır) çizilebilir kenar başına. Kenar başına sınırlı sayıda kesişme olması daha doğrudur. Bunu görmek için grafiği planlayın (her geçişi bir tepe noktasıyla değiştirin) ve ardından Fáry'yi uygulayın.

Şimdi, bunu asıl sorunuzu cevaplamak için kullanmak için yapmanız gereken, belirli bir çoklu çizgiye keyfi olarak yakın bir cebirsel eğri bulmaktır. Bu da oldukça kolay bir şekilde yapılabilir. Örneğin: her bölüm için$s_i$ çoklu hattın $e_i$ çok yakın yüksek eksantrikliği olan bir elips ol $s_i$ve bırak $p_i$ dışarıda pozitif olan ikinci dereceden bir polinom olmak $e_i$ ve içeride negatif $e_i$. Genel polinomunuzun formu almasına izin verin$p=\epsilon-\prod_i p_i$ nerede $\epsilon$küçük bir pozitif gerçek sayıdır. Sonra eğrinin bir bileşeni$p=0$elipslerin birliğinin dışında biraz uzanır ve çoklu hattın yerine kullanılabilir; derecesi kenar başına geçiş sayısında lineer olan elips sayısının iki katı olacaktır.

Bu düz çizgisel geçiş sayısı olarak bilinir $\overline{\mathsf{cr}}(G)$Bu, grafiğin tüm olası düz çizgi çizimleri arasındaki minimum geçiş sayısıdır $G$. Normal geçiş numarasıyla karşılaştırın$\mathsf{cr}(G)$, biri görebilir $\overline{\mathsf{cr}}(G) \geq \mathsf{cr}(G)$. Ve sorunuz aslında temelde$\overline{\mathsf{cr}}(G) = \mathsf{cr}(G)$ Eğer $\mathsf{cr}(G) \leq k$ bir süreliğine $k$.

Doğrusal geçiş sayıları için Sınırlar makalesinde , Bienstock ve Dean

Teorem. Eğer$k \leq 3$, sahibiz $\overline{\mathsf{cr}}(G) = \mathsf{cr}(G)$. Ve için$k \geq 4$, grafikler var $G_n$ ile $\mathsf{cr}(G) = 4$ ve $\overline{\mathsf{cr}}(G) \geq n$.

Referans için Richter ve Salazar'ın geçiş sayıları hakkında bir ankete bakınız . Sınırlı geçiş sayılarına sahip grafiklerde Fáry teoreminin bir varyantı varsa, bununla sınırlandırılmalıdır.$\mathsf{cr}(G) \leq 3$.

İle küçük bir örnek için $\overline{\mathsf{cr}}(G) \neq \mathsf{cr}(G)$, 8 köşede tam grafiği düşünün. Vardır$\mathsf{cr}(K_8) = 18$ ve $\overline{\mathsf{cr}}(K_8) = 19$.