Eşik fonksiyonunda alt sınırlar

Boole fonksiyonunun karar ağacı karmaşıklığında, çok iyi bilinen bir alt sınır yöntemi, fonksiyonu temsil eden (yaklaşık) bir polinom bulmaktır. Paturi , simetrik boole (kısmi ve toplam) fonksiyonlar için belirtilen miktar bakımından bir karakterizasyon verdi :$\Gamma$

Teoremi ( Paturi ) Let ve anlamında olabildikleri, bir sabit olmayan bir simetrik fonksiyon zaman (yani Hamming ağırlığı isimli ). Yaklaşık derecesi , ifade edilmiş , bir , burada$f$$f_k=f(x)$$|x|=k$$x$$k$$f$$\widetilde{deg}(f)$$\Theta(\sqrt{n(n-\Gamma(f))})$$\Gamma(f)=\min\{|2k-n+1|:f_k\neq f_{k+1}\text{ and } 0\leq k\leq n-1\}$

Şimdi eşik fonksiyonu olsun, yani ise olsun . Bu makalede (bkz. Bölüm 8, sayfa 15) diyor .$Thr_t(x)$$Thr_t(x)=1$$x\geq t$$\widetilde{deg}(f)=\sqrt{(t+1)(N-t+1)}$

Eşik fonksiyonu için, çünkü olduğunda işlev 0'dan 1'e değişir. Haklı mıyım?$\Gamma(Thr_t)=|2(t-1)-n+1|$$|x|=t-1$

Eğer Paturi teoremini bu değerine doğrudan uygularsam , diğer makalelerde bildirilen eşik fonksiyonunun alt sınırını elde edemem. değeri yukarıdaki doğru mu? Neyi kaçırıyorum?$\Gamma$$\Gamma(Thr_t)$

Düzenleme: Ben de eşik için kuantum düşman alt sınır hesaplamaya çalıştı. İlk önce, teoremi gözden geçirelim.

Teoremi (Tartılmamış Kuantum Adversary) Let kısmi boole fonksiyonu olabilir ve izin ve (sert) girişlerin alt kümesi. bir ilişki olmasına izin verin ve her için . Let herhangi bir sıra ve ilgili herhangi bir sütunda 1s az sayıda belirtir ve sırasıyla izin ilişkilerin herhangi bir satır ve sütun olanlar anlamında olabildikleri maksimum sayısı sırasıyla. Sonra .$f$$A\subseteq f^{-1}(0)$$B\subseteq f^{-1}(1)$$R\subseteq A\times B$$R_i=\{(x,y)\in R : x_i\neq y_i\}$$1\leq i \leq n$$m,m'$$R$$\ell,\ell'$$R_i$$Q_2(f)=\Omega(\sqrt{\frac{m m'}{\ell \ell'}})$

Tanımlamam Eğer daha fazla 1s sayısı olan bütün girdiler grubu olarak ya da eşit ve katı en az 1 sn tüm girişler , (bazı cebir sonra) almak .$B$$t$$A$$t$$\frac{mm'}{\ell\ell'}=n^2 \ln(\frac{n}{t}) \ln(\frac{n}{n-t})$

Yani yine de diğer gazetelerde bildirilen aynı düşük sınırları alamıyorum. Şimdi bu sınırları karşılaştıralım. Aşağıdaki şekilde ve karekök olmadan, Paturi'nin teorem bağlı (mavi), rakip bağlı (kırmızı) ve diğer kağıtlardan bildirilen bağlı (yeşil) arasındaki bir karşılaştırma gösterilmektedir.$n=200$

Sorularım:

1- Sınırı diğer yazılarda nasıl bildirebilirim?

2- Şekilden, rapor edilen alt sınırın (yeşil) Paturi'nin ve alt sınırın da alt sınırlar olduğunu görebilirsiniz. Bu "gerçek" alt sınırı zayıflatmıyor mu? Örneğin, Paturi tüm simetrik fonksiyonlar için bu sınırın olduğunu söylüyorsa, kuantum sayımı için nasıl eşleşen bir üst sınır elde edebilirsiniz ( )? Üst sınır Paturi teoremini ihlal etmiyor mu?$\sqrt{(t+1)(n-t+1)}$

orijinal bağlı sınırını nasıl alabileceğinizi veya görebileceğinizi bilmiyorum ancak bu sınırların asimptotik olarak sabit bir faktöre eşit olduğunun kanıtı:$\sqrt{(t+1)(n-t+1)}$$\sqrt{n(n-\vert (2(t-1) -n+1 \vert )}$

Öncelikle ( eşik fonksiyonu her zaman olduğu için hariç ) $t = 0$$1$

$$n(n-\vert (2(t-1) -n+1 \vert) = \left\lbrace \begin{array}{ll} n(2t-1) & 1 \leq t \leq n/2+1/2\\ n(2n-2t+1) & n/2+1/2 \leq t \leq n-1 \end{array} \right.$$

, ve tanımlayın .$f_1(t) = n(2t-1)$$f_2(t) = n(2n-2t+1)$$g(t) = (t+1)(n-t+1)$

Artık (göre maksimal değerinin hesaplanması gerekir fraksiyonların tanımlanan aralıklarına içinde) , , ve . Bunu grafiğin yardımıyla diferansiyel hesap veya yaklaşık olarak yapabilirsiniz ( yeterince büyük ile ):$t$$f_1(t)/g(t)$$f_2(t)/g(t)$$g(t)/f_1(t)$$g(t)/f_2(t)$$n$

$f_1(t)/g(t) \leq f_1(n/2+1/2)/g(n/2+1/2) \leq \dfrac{n^2}{n^2/4} = 4$

$f_2(t)/g(t) \leq f_2(n/2+1/2)/g(n/2+1/2) \leq \dfrac{n^2}{n^2/4} = 4$

$g(t)/f_1(t) \leq g(1)/f_1(1) = \dfrac{2n}{n} = 2$

$g(t)/f_2(t) \leq g(n-1)/f_2(n-1) = \dfrac{n/2}{n/3} \leq 3/2$

Bu size ve ayrıca istenen sonucu verir

$$n(n-\vert 2(t-1)-n-1\vert) = \Theta((t+1)(n-t+1))$$ $$\sqrt{n(n-\vert 2(t-1)-n-1 \vert)} = \Theta(\sqrt{(t+1)(n-t+1)}).$$

Bu sonucu görmenin / almanın daha kolay bir yolu var mı?