Sarnak'ın Mobius varsayımına örnek olarak verimli bir şekilde hesaplanabilir fonksiyon

Son zamanlarda Gil Kalai ve Dick Lipton , sayı teorisi ve Riemann Hipotezi konusunda uzman Peter Sarnak tarafından önerilen ilginç bir varsayım üzerine güzel bir makale yazdılar.

Varsayım. Let olmak Möbius fonksiyonu . Varsayalım bir olduğunu girişi ile işlev ikili gösterimi şeklinde , o $\mu(k)$ $f: \mathbb{N} \to \{-1,1\}$ $\mathsf{AC}^0$ $k$ $k$
$\sum_{k \leq n} μ (k) \cdot f (k) = o (n) .$ $\sum_{k \leq n} \mu(k) \cdot f(k) = o(n) \text.$

Eğer ise, Prime sayı teoreminin eşdeğeri bir formumuz olduğuna dikkat edin . $f(k) = 1$

GÜNCELLEME : MathOverflow'taki Ben Green , varsayımı kanıtladığını iddia eden kısa bir makale sunar . Gazeteye bir bak .

Öte yandan, ayarlayarak aralığın olduğu için küçük değişikliklerle ), sonuçta elde edilen toplamın tahminde bulunduğunu nın de hesaplanabileceği bir üst sınır var , bu nedenle üzerinde önerilen sınırlama) varsayımdaki bir fonksiyonuyla . Sorum şu: $f(k) = \mu(k)$ $\\{-1,1\\}$

\sum_{k \leq n} μ (k)^{2} = Ω (n) .

$\sum_{k \leq n} \mu(k)^2 = \Omega(n) \text.$

μ (k)

$\mu(k)$

U P \cap c o U P \subseteq N P \cap c o N P

$\mathsf{UP} \cap \mathsf{coUP} \subseteq \mathsf{NP} \cap \mathsf{coNP}$

f (k)

$f(k)$

N P

$\mathsf{NP}$

şu anda bildiğimiz en düşük karmaşıklık sınıfı nedir , öyle ki içindeki bir işlevi un kestirimini yerine getirir. Özellikle, bazı teorisyenlerin bilgisayarının de olmadığına için, diğer fonksiyonlarını sağlayabilir miyiz? Bu, toplamda doğrusal bir büyüme anlamına gelir? Daha iyi sınırlar elde edilebilir mi? $\mathsf{C}$ $f(k)$ $\mathsf{C}$
$\sum_{k \leq n} μ (k) \cdot f (k) = Ω (n) ?$ $\sum_{k \leq n} \mu(k) \cdot f(k) = \Omega(n) \text{?}$ $\mu(k)$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{P}$ $f(k)$

— Hsien-Chih Chang 張顯之
kaynak

P ^ {BQNC} gibi bazı kuantum sınıfları da, faktoring o sınıfta olduğu için çalışmalıdır.

— Robin Kothari

Bu, sabit bir için bile biliniyor mu?

f (k) = k_{i}

$f(k) = k_i$

i

$i$

— Manu

@Emanuele, iyi bir soru. İ-bit'in k'nin ikili gösterimi içindeki gösterge işlevi doğrusal bir "dirsek polinomudur", ancak çok yüksek katsayılara sahiptir, bu nedenle Green-Tao teoreminden Mobius fonksiyonunun sınırlandırılmış korelasyonu üzerine gelmeyebilir. -step nilseences. Sınırlı adımdaki nilsensiler, özel durumlar olarak dereceli parantez polinomlarını sınırlandırdı, ancak sonuçlarının katsayıların büyüklüğü üzerinde bazı kısıtlamalar olabilir

— Luca Trevisan

Ve tanınır mı?

f \in N C^{0}

$f \in NC^0$

— domotorp

Eğer bir işlev istiyor musunuz aralığı ile ya veya başka bir şey?

f

$f$

{- 1, 0, 1}

$\{-1,0,1\}$

{- 1, 1}

$\{-1,1\}$

— Jukka Suomela

Bu konuda ilginç gelişmeler oldu, ancak ACC ile değiştirmek (2) (yani mod 2 kapılarına da izin vermek) hala ulaşılamıyor. Ben Green teoreminin ötesinde bazı ilerlemeler bu MO sorusunda bulunabilir https://mathoverflow.net/questions/57543/walsh-fourier-transform-of-the-mobius-function ve bununla birlikte https://mathoverflow.net / soru / 97261 / mobius-rastgele-of-rudin-shapiro dizisi . Buna ek olarak, Jean Bourgain her monoton fonksiyonu Mobius rasgelelik kanıtlanmıştır (ikili basamaklı genişleme açısından). $AC^0$ $f$

— Gil Kalai
kaynak