Minkowski toplamı altında kapatma.

cinsinden iki vektörü grubunun Minkowski toplamı $A, B \in R^d$

A \oplus B = {a + b ∣ a \in A, b \in B}

$A \oplus B = \{ a + b \mid a \in A, b \in B \}$

Sadece ilginç bir sorun duydum (Dan Halperin'e atfedilen): şekli verildiğinde , şekilde şekli var mı? $B$ $A$ $A \oplus A = B$

Ama bu benim sorum değil (açık bir sorun gibi görünüyor). Yukarıdaki problemde, eğer $B$ bir dışbükey kümesiyse, dışbükey kümelerin Minkowski toplamlarının alınması altında kapatıldığından çözeltisi olduğunu gözlemleyin $A = (1/2)B$ .

şekiller sınıfını düzeltin . , Minkowski toplamları altında içindeki için kapalı olduğunu söylüyoruz . ${\cal S}$ ${\cal S}$ $A, B \in {\cal S}, A \oplus B \in {\cal S}$

Benim sorum şu:

Minkowski toplamları altında kapalı olan şekil sınıflarının güzel bir karakterizasyonu var mı ${\cal S}$ ?

cg.comp-geom

— Suresh Venkat
kaynak

Jukka: Soruyu güncelledim.

— Suresh Venkat

Revizyon 2'yi okudum. (1) “Minkowski toplamları altında dışbükey kümelerin nasıl kapatıldığını” göremiyorum “her iki gerçek de açık olsa da” (A = (1/2) B çözümü var) nedenidir. (2) “Minkowski toplamları altında kapalı” dan daha hoş bir eşdeğer karakterizasyon olduğundan şüpheliyim.

— Tsuyoshi Ito

Doğrudan bir ima olmadığı doğru. Ancak kanıt, iki dışbükey kümenin toplamının dışbükey olduğu gerçeğini kullanıyor. "O zamandan beri" yerine "şunu da not edin .." demek için tekrar yazabilirim

— Suresh Venkat

İki dışbükey kümenin Minkowski toplamının dışbükey bir set için (B / 2) ⊕ (B / 2) = B'yi kanıtlarken dışbükey olduğunu düşünmüyorum. Muhafaza (B / 2) ⊕ (B / 2) ⊇B'nin konveksite ile ilgisi yoktur. (B / 2) ⊕ (B / 2) ⊆B çevrimi, B'nin dışbükey olduğu gerçeğinden kaynaklanır: herhangi bir x, y∈B, (x / 2) + (y / 2) ∈B için dışbükeylik B.

— Tsuyoshi Ito

@Yoshio: mümkün. Bu soru aynı zamanda genel gruplardaki 'toplam' çalışmaları ile de ilgili olabilir.

— Suresh Venkat

Kafesler ve doğrusal altuzaylar Minkowski toplamı altında kapalıdır. Bu, tanımlarından aşağı yukarı derhal. Kafesler + doğrusal alt uzaylar Minkowski toplamı altında kapatılır (yani, bu kümenin bir üyesi, örneğin, birbirinden 1 mesafesindeki bir paralel çizgi kümesidir). Delikli bağlı çokgenler Minkowski toplamı altında kapatılır. Halkalar [iki eş merkezli diskin ayarlanmış farkları] Minkowski toplamı altında kapatılır (bir disk doğal olarak halka olarak kabul edilir). Belirli bir yöne paralel çizgi parçası kümesi Minkowski toplamı altında kapatılır. Patates kızartması Minkowski toplamı altında kapatılır, ancak sadece iyi pişirildiyse (veya belki de geç değildir) ...

Ayrıca, konsantrik halkaların sonlu birliği ailesi Minkowski toplamı altında kapalıdır.

— Sariel Har-Peled
kaynak