NP-tam olan geometrik sorunlar

göz önüne alındığında çok sayıda geometrik problem kolaydır , ancak için de NP tamamlandı (en sevdiğim problemlerden biri, birim disk kapağı dahil).R, d d ≥ $R^1$$R^d$$d\geq2$

Polytime çözülebilir için bir sorun olduğunu bilen var mı ve R 2 , fakat için NP-tam Ar d , d ≥ 3 ? $R^1$$R^2$$R^d,d\geq3$

Daha genel sorunlar için NP-tam olduğu bulunmadığından, ama için çözülebilir polytime R k - 1 nerede, k ≥ 3 ?$R^k$$R^{k-1}$$k\geq3$

Kapağı yarı boşluklarla ayarlayın.

Düzlemde bir dizi nokta verildiğinde ve nokta kümelerini kapsayan minimum yarım düzlem sayısını hesaplayan bir yarım düzlem kümesi, düzlemdeki polinom zamanında çözülebilir. Bununla birlikte, problem 3D olarak NP'dir (2d'de nokta disklerinin alt kümesi ile bir min kapağı bulmaktan zordur). 3B'de size yarım alanların ve noktaların bir alt kümesini verilir ve puanları kapsayan minimum sayıda yarım alan ararsınız.

2d'deki polytime algoritması burada açıklanmaktadır: http://valis.cs.uiuc.edu/~sariel/papers/08/expand_cover/

İstediğiniz şey tam olarak değil, çünkü 3B sürümü NP tamamlamadan bile daha zor, ancak: Düzlemdeki poligonal engeller arasında iki nokta arasında en kısa yolu bulmak polinom süresinde (en basit haliyle, iki terminalin görünürlük grafiğini oluşturmak) ve çokgen köşeleri Dijkstra'yı uygular ve uygular; Hershberger ve Suri, SIAM J. Comput. 1999'dan dolayı daha karmaşık bir O (n log n) algoritması da vardır, ancak 3B'deki çokyüzlü engeller arasında en kısa yolu bulma PSPACE-tamamlandı (Canny). ve Reif, FOCS 1987).

Düzlemdeki herhangi bir dışbükey olmayan çokgen, O (n) zamanında Steiner noktaları olmadan üçgenleştirilebilir; yani, üçgenlemenin her köşesi poligonun köşesidir. Dahası, her nirengi tam olarak n-2 üçgenden oluşuyor.

Bununla birlikte, R ^ 'deki bir dışbükey olmayan polihedronun Steiner noktaları olmadan üçgenleştirilip birleştirilemeyeceğini belirlemek NP-tamamlanmıştır. NP-sertlik sonucu, bir Steiner noktasıyla üçgenleme sağlanmış olsa bile geçerlidir , bu nedenle gereken minimum Steiner puanına yaklaşmak bile NP-zordur. [Jim Ruppert ve Raimund Seidel. Üç Boyutlu Konveks Olmayan Polyhedra Üçgenleştirmenin Zorluğu Üzerine. Ayrık Hesaplama. Geom. 1992]

Eğer verilen polihedron dışbükey ise, bir üçgenleme bulmak kolaydır, ancak minimum tetrahedra ile üçgenlemeyi bulmak NP-zordur. [Alexander Altında, Jesús de Loera ve Jürgen Richter-Gebert. Dışbükey 3-polytopes küçük üçgenleme bulma karmaşıklığı . J. Algoritms 2004.]

İçin gerçeklenebilirlik sorun boyutlu Politopunun aday. Ne zaman d ≤ 3 , bu polinom zamanlı çözülebilir (gereğidir Steinitz' teoremi ), ama ne zaman d ≥ 4 , bu NP-zor. Daha fazla bilgi için, en lütfen göz " 4-Politopunun Gerçekleşme alanlarda evrenseldir (orada Richter-Gebert ve Ziegler tarafından" bir arXiv versiyonu ve kitap "sıra) Politopunun üzerinde Dersler Ziegler tarafından" (2 baskı).$d$$d \le 3$$d \ge 4$

Bir metrik boşluğun izometrik olarak R ^ 2'ye gömülü olup olmadığına karar vermek kolaydır. Bununla birlikte, R ^ 3 gömülebilirliğine karar vermek NP-zordur.

$\ell_\infty^2$$\ell_\infty^3$

kâğıt

$R^2$$R^3$$Z^2$$Z^3$

$k = 2$$Z^2$$Z^k$$k > 2$.