P = NP neden P = AP (yani P = PSPACE) anlamına gelmiyor?

Şu iyi bilinmektedir ki eğer $\mathbf{P}=\mathbf{NP}$ sonra polinom hiyerarşi çöker ve $\mathbf{P}=\mathbf{PH}$ .

Bu, oracle makineleri kullanılarak endüktif olarak kolayca anlaşılabilir. Soru - neden endüktif sürece sürekli bir değişim seviyesinin ötesinde devam edemiyoruz ve $\mathbf{P}=\mathbf{AltTime}(n^{O(1)})$ (aka $\mathbf{AP}=\mathbf{PSPACE}$ ) ispatlayamıyoruz ?

Sezgisel bir cevap arıyorum.

Kanıtıdır ( = p H ) kullanılarak bir indüksiyonu P = N P . İndüksiyon, herhangi bir doğal sayı k için , P = A l t T i m e ( k ) (ve A l t T i m e ( O ( 1 ) $\mathbf{P}=\mathbf{AltTime}(O(1))$$=\mathbf{PH}$$\mathbf{P}=\mathbf{NP}$ $k$$\mathbf{P}=\mathbf{AltTime}(k)$$\mathbf{AltTime}(O(1))$ sadece onların birliğidir).

Alternatif sayısı giriş boyutuyla değişebildiği zaman indüksiyon çalışmaz (yani, makinenin olası değişimlerinin sayısı bir sayı değil , giriş boyutunun bir fonksiyonu olduğunda, yani makinenin yürütülmesinin tek bir girişte herhangi bir alternatif olmaksızın azaltılabilir, makinenin tüm girişlerdeki yürütmelerinin "tekdüze olmadan" tekdüze olarak "azaltılabileceğini gösteriyoruz).

Benzer ama daha basit bir ifadeye bakalım. kimlik fonksiyonunun sonunda tüm sabit fonksiyonlara hükmettiğini göstermek istiyoruz ( son olarak çok sayıda n f ( n ) ≤ g ( n ) hariç herkes için f ≪ g iff ). İndüksiyonla söylenebilir. Tüm k , k ≪ n (yani f k ≪ i d nerede$id(n)=n$$f \ll g$$n$ $f(n) \leq g(n)$$k$$k \ll n$$f_k \ll id$$f_k(n)=k$), ancak , n 2 ≪ ̸ n gibi sabit olmayan fonksiyonlar için buna sahip değiliz .$n^2$$n^2 \not \ll n$

Polinom hiyerarşisini interaktif kanıtlar için hiyerarşiyle karşılaştırın. Bazı sabit k için , etkileşimli bir kanıtta k alternatifleriniz varsa - IP ( k ) - ortaya çıkan karmaşıklık sınıfının iki alternatifle elde ettiğinizden daha fazla gücü yoktur - yani, IP ( k ) = IP (2 ) = AM ( k ≥2 varsayarak ). Bununla birlikte, polinom sayıda değişime izin verirseniz, AM'den çok daha büyük olduğuna inanılan karmaşıklık sınıfı IP = PSPACE elde edersiniz , polinom hiyerarşisinin ikinci seviyesinde Π ₂ P'de bir sınıf bulunur . Yani bu fenomen aslında (bildiğimiz kadarıyla değil, polinom hiyerarşisinde) olmasına rağmen.

Bunun nedeni, IP ( k ) 'de n boyutunda bir problemi alıp IP (2)' de bir probleme dönüştüren küçültmenin sorun boyutunu havaya uçurmasıdır, böylece herhangi bir belirli IP ( k ) için problem polinom boyutu kalır , k değişmesine izin verirseniz , sonuçta ortaya çıkan azalma k cinsinden polinom problemleri vermez .

İşte sabit ve sınırsız alternatifler arasındaki boşlukla ilgili küçük bir sezgi: sabit sayıda tekrarlanan bir polinom operasyonu polinomdur, ancak tekrarlanan bir polinom sayısı üstel olabilir. Örneğin, kendi üzerinde tekrarlanan çarpımı alın:

v = 2
for(i=1 to n)
  v = v*v

Yineleme sayısı doğrusaldır ve çıktı üsteldir. Ancak n'yi düzeltirseniz, başlangıç ​​değerinin büyüklüğünde polinom olur.

Aşağıda, Peter'ın cevabındaki noktada, nerede başarısız olduğunu ve böyle bir denemeden bir şey kurtarılıp kurtarılamayacağını görmek için sabit sayıda adımdan fazla nicelik giderici gerçekleştirmeye çalışarak biraz genişletiyorum.

P = N P'yi yükseltmeye çalışalım$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$Sabit sayıdan daha uzun süre .

P = N P olduğunu varsayın$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$ . Bu nedenle Ext-Circuit-SAT'ı çözen polinom zaman makinesi vardır (belirli bir devre için tatmin edici bir uzatma ve girişlerine kısmi atama var mı?).

Daha resmi olarak, polinom çalışma süresi p ( n ) ∈ p o l y ( n ) st olan bir çoklu zaman algoritması $A$ sahibiz.$p(n)\in\rm{poly}(n)$

Bir Boole devresi $\varphi$ ve girişlere kısmi atama $\tau$ verildiğinde, φ değerini karşılayan bir τ uzantısı varsa
$A$ "evet" değerini döndürür , aksi takdirde "no" döndürür.$\tau$$\varphi$

Sabit zamanların üzerinden geçmek için nicelleştiricinin çıkarılmasını etkili bir şekilde yapmamız gerekir. Bunu yapabiliriz çünkü Cook-Levin teoremi yapıcı bir teoremdir, aslında polinom zaman algoritması verir $Cook$ st

İki giriş ve üç tekli sayı n , m ve t alan bir DTM $M$ verildiğinde , C o o k ( M , n , m , t ) uzunluk girişlerinde M'yi simüle eden O ( t 2 ) boyutunda bir Boole devresi döndürür t adımları için ( n , m ) .$n$$m$$t$
$Cook(M, n, m, t)$$O(t^2)$$M$$(n,m)$$t$

P = P H argümanını genişletmek için bunları kullanmaya çalışalım$\mathsf{P}=\mathsf{PH}$ bir algoritma çözme TQBF (aslında TQBCircuit, yani Tamamen Quantified Boole Devre sorun) elde etmek.

Aşağıdaki gibi algoritma fikir: tekrar tekrar kullanımı $Cook$ hakkında $A$ , belirli bir sayısal devresinden nicelik kaldırın. Doğrusal sayıda niceleyici vardır, bu yüzden bir polinom zaman algoritması almayı umuyoruz (polinom zaman alt rutini $Cook$ kullanarak polinom olarak birçok adım içeren bir algoritmaya sahibiz ). Bu nicelleştirici eliminasyon işleminin sonunda, polinom zamanında değerlendirilebilen bir nicelleştirici içermeyen devreye sahip olacağız (Devre Değeri problemi $\mathsf{P}$ , $CV$ verilen bir devrenin devre değerini hesaplamak için bir polinom zaman algoritması olsun) .

Ancak bu fikir olmadığını göreceksiniz değil (aynı nedenden Peter tarafından işaret için) çalışır.

• Izin vermek $\varphi$ nicel bir devre, (verilen nicelikli formüle ilklendirilir).
• Let $k$ içinde niceleyicilerin sayısını $\varphi$ .

• For $i$ dan $k$ için $1$ do

  • Let $\psi$ = $Qx_k \sigma(x_1,...,x_k)$ son nicelik ve nicelik içermeyen bir parçası olabilir.

  • Eğer $Q = "\exists"$ ,

    1. Bilgi İşlem $C = Cook(A, |\sigma|, |x_1|+...+|x_k-1|, p)$ ,
    2. Giriş bitlerini C devresinde $\sigma$ ile değiştirin , $C$
    3. Değiştir $\psi$ ile $C$ de $\varphi$ .

  • Eğer $Q = "\forall"$ ,

    1. $\psi$$\lnot \exists x_k \lnot \sigma$ olarak düşünün ,
    2. Bilgi İşlem $C = Cook(A, |\lnot \sigma|, |x_1|+...+|x_k-1|, p)$ ,
    3. Giriş bitlerini C devresinde $\lnot \sigma$ ile değiştirin , $C$
    4. Değiştir $\psi$ ile $\lnot C$ de $\varphi$ .
• Hesaplayın ve $CV(\varphi)$ .

Ortaya çıkan algoritma polinom zamanına benziyor : polinom birçok adımımız var, her adım polinom zamanı hesaplanabilir. Ancak bu doğru değildir, algoritma polinom zamanı değildir.

Bir polinom zaman algoritmasında polinom zamanı alt rutinlerinin kullanılması polinom zamanıdır. Sorun, alt rutinlerin döndürdüğü değerlerin orijinal girdide polinom boyutunda olmaması durumunda genel olarak bunun doğru olması gerekmemesidir ve alt rutinlerden dönen değerler hakkında atamalar yaptığımızı varsayıyoruz. (TM modelinde, herhangi bir polinom zaman altyordamının bitini yavaş yavaş okumalıyız.) Burada $Cook$ algoritmasından döndürülen değerin boyutu artıyor (kendisine verilen girişin boyutunun gücü olabilir) , kesin güç $A$ çalışma süresine bağlıdır ve $p^2(|input|)$, yani $A$ doğrusal zamandan daha az olamayacağını bildiğimiz için , $|output|$en azından $|input|^2$ ).

Sorun aşağıdaki basit koda benzer:

• $x$ verildiğinde ,
• Let $n = |x|$,
• Let $y = x$ ,
• İçin $i$ dan $1$ için $n$ do
  • Let $y = y^{|y|}$(Yani birleştirme $|y|$ kopyaları $y$ )
• Dönüş y

Her seferinde $y = y^{|y|}$biz $y$ büyüklüğünde kare . $n$ yürütme işleminden sonra , x 2 n olan ve n 2 n boyutunda bir $y$ sahip olacağız , açıkçası giriş boyutunda bir polinom değil.$x^{2^n}$$n2^n$

Diyelim ki sadece $k(n)$ niceleyici değişimleri olan nicelenmiş formülleri göz önünde bulunduruyoruz (burada $n$ nicelenen formülün toplam büyüklüğüdür).

$A$$p$ zamanında çalıştığını varsayın (örn. Şimdiye kadar dışlanmayan doğrusal zaman) ve belki t 2 yerine l ( t ) boyutunda daha küçük bir devre veren daha verimli bir $Cook$ algoritması var , o zaman ExtCircuitSat için zamanında çalışan bir algoritma ( l ∘ p ) O ( k ) ( n ) = l ( p ( l ( p ( … ( l ( p ($l(t)$$t^2$$(l\circ p)^{O(k)}(n)=\underbrace{l(p(l(p(\dots(l(p(n)))))))}_{O(k)\mbox{ compositions}}$ . Hatta hem bu durumda$l$ve$p$doğrusal idi (ama toplam katsayısı ile$a\geq 2$) biz zaman içinde çalışan bir algoritma alacağı$\Omega(n2^{k(n)})$ve eğer$k(n) = \Theta(n)$onu olacaktır$\Omega(n2^n)$ kaba kuvvet algoritmasına benzer (ve hatta bu, Cook-Levin'in algoritmanın çalışma süresinde lineer boyutta devrelerle sonuçlanan algoritmalarda gerçekleştirilebileceğini varsaymaya dayanıyordu).

Bence bunun nedeni PH'nun her seviyesinde, alternatiflerin sayısının sabit olmasıdır (yani giriş boyutundan bağımsız), AP'de ise alternatiflerin sayısı sınırsız olabilir (yine de giriş boyutunda polinom).