Düşük boyutlarda öklid-kare maksimum kesim

$x_1, \ldots, x_n$ $\mathbb{R}^2$ $\|x_i - x_j\|^2$ $\frac 2 3$ $\frac 2 3$

Bulabildiğim en kötü örnek, eşkenar üçgende 3 nokta, ulaşıyor . Rastgele bir bölünmenin üreteceğini unutmayın , ancak sezgisel olarak bariz bir şekilde düşük boyutlarda bir kişinin rastgele daha iyi kümelenebileceği görülmektedir. $\frac 2 3$ $\frac 1 2$

K> 2 için max-k-cut için ne olur? D> 2 boyutuna ne dersiniz? Bu tür soruları cevaplayacak bir çerçeve var mı? Cheeger eşitsizliklerini biliyorum, ama bunlar en az kesime (maks. Kesim değil) uygulanır ve sadece düzenli grafikler için çalışır.

(Soru, varyansı en aza indirmek için bilgisayar grafiklerindeki ışık kaynaklarını kümeleme sorunundan esinlenmiştir).

— Milos Hasan
kaynak

Max k-Cut için basit bir 1-2 / k yaklaşımı vardır ve k> 2 için iyi bir büyük kesim bulabilirsiniz, ancak k = 2 için www-math.mit.edu/~goemans/PAPERS/maxcut -jacm.pdf ve ilgili konular, ben yüksek olasılıkla iyi bir kesim bulursanız 2/3 ile bir kesim olduğunu söyleyebilir ya da değil, en azından olasılık aralığı sınırlı olacağını düşünüyorum.

— Saeed

Bununla birlikte, burada ağırlık fonksiyonunun bir metrik olmayan KARE öklid mesafesi olduğunu unutmayın.

— Suresh Venkat

Ben maksimum kesim bir ptas, hatta belki de bu durumlar için bir çoklu zaman algoritması olduğunu tahmin ediyorum, ama özel soru çok ilginç. Köşeler bir döngü boyunca eşit aralıklı olduğunda maksimum kesimin ne olduğu ve bu sınıfta maksimum kesimi en aza indiren örneğin üç eşit aralıklı köşe olduğu açık mı? Çünkü noktaların her konfigürasyonunun, maksimum kesimin toplam ağırlığa oranını artırmadan `` simetrik '' bir konfigürasyona dönüştürülebileceğini gösteren bir argüman olabilir ve bu nedenle sadece yüksek simetrik konfigürasyonları anlamak yeterli olabilir

— Luca Trevisan

Ayrıca, bir boyutta ne olur? Maksimum kesimin toplam ağırlığın yaklaşık 2 / 3'ü olduğu bir konfigürasyon bulmak mümkündür (bir nokta -1, bir nokta +1, 4 nokta sıfıra çok yakın; toplam ağırlık 12 ve optimum 8). 2/3, 1 boyutta maksimum kesimin toplam ağırlığa mümkün olan en küçük oranı mı?

— Luca Trevisan

@Luca: Evet, 1D de önemsiz değil. Sezgisel olarak, boyut arttıkça sabit 1 / 2'ye yaklaşmalıdır. 2B durum için, ağırlık merkezinin (0,0) olduğunu ve tüm noktaların birim çember içine oturduğunu varsayabiliriz. Kesim ağırlığını artırmazken noktaları birim çembere doğru iten bazı "nokta itme" argümanı olabilir, bu da yardımcı olacaktır, ancak sabitleyemedim.

— Milos Hasan

Yanıtlar:

Sabit, boyut arttıkça 1/2 oranındadır. D boyutlarında, birbirinden bir mesafede d + 1 noktalarınız olabilir, bu nedenle kare kare toplamı ${d+1 \choose 2}$ ve maksimum kesim en fazla , toplam ağırlığın oranı $(d+1)^2/4$ $\frac 12 \cdot \frac {d+1}{d}$

— Luca Trevisan
kaynak

Tamam, ama d + 1 noktalarının birbirinden 1 mesafede yapılandırılması neden en kötü durumu oluşturuyor? Bu mantıklı görünüyor, ama belli mi? (Ve d = 1 için, 1 mesafesindeki iki nokta açıkça en kötü durum değildir; yukarıda verdiğiniz 6 nokta konfigürasyonu daha kötüdür. D = 1 tek patolojik durum olabilir ve işe yarıyor olabilir d> = 2?)

— Milos Hasan

@milos Anladığımdan emin değilim. 0.5'in ulaşılabilir olduğunu biliyoruz ve bu örnek daha iyisini yapamayacağınızı gösteriyor. Bununla birlikte, uçak için 2/3 varsayımını kırmaz.

— Suresh Venkat

@Suresh: gerçekten sonra bunu kanıtlıyor ı oldu ne olabilir yani ben özellikle düşük d'ler için en kötü sabitler gerçek değer sırasında ilgilenen kulüpler düşük boyutta daha iyi yapmak.

— Milos Hasan

Gerçekten düşük d için 1/2 ve 2/3 arasında gerçek bir boşluk kanıtlamak istedim. Bunun ilginç sonuçları olacaktır, yani eğer probleminiz kendinden düşük boyutlu ise (birçoğunuz) Monte Carlo toplamını / entegrasyonunu (probleminizi rastgele yerine alt problemlere akıllıca bölerek) yenebilirsiniz.

— Milos Hasan

Bu sadece büyük d için bir cevap olmasına rağmen, small-d vakasının analizinde ne tür zorlukların ortaya çıkabileceğini göstermektedir. Diyelim ki, 2 boyutta, çift kare mesafesi 1 ile 1,1 arasında olan beş noktanız olabilir. Daha sonra toplam ağırlık en az 10 ve maksimum kesim en fazla 6.6'dır. 2/3 iki boyut için doğru cevapsa, çift öklid mesafelerinin en az bir olacağı şekilde beş noktanız varsa, çift öklid mesafelerinden birinin en az olduğunu gösterebilmelisiniz. . Bunu nasıl tartışıyorsunuz?

\sqrt{1.1}

$\sqrt {1.1}$

— Luca Trevisan

Eşkenar üçgende 3 puan A, B, C alın ve merkeze 3 puan daha D, E, F ekleyin. Kesimin bir tarafında A, B, C'den iki tane istediğiniz açıktır, bu yüzden bu üç noktadaki kesimin (AB; C) olduğunu varsayalım. Şimdi, D, E, F noktalarının her biri kesimin C tarafına gitmelidir, bu nedenle optimal kesim (AB; CDEF) ve oran kolayca 2/3 olarak kontrol edilir.

Şimdi, küçük bir eşkenar üçgen oluşturmak için D, E, F noktalarının her birini merkezden hafifçe uzaklaştırın. Merkez çevresinde simetrik oldukları sürece hangi yönde olduğu önemli değildir. Eğer onları yeterince küçük bir mesafeye taşırsanız, optimum kesim yine de (AB; CDEF) olmalıdır. Bu kesimin uzunluğunu düşünün. Kenarlar (AC, BC), toplam kenar uzunluğunun (AB, BC, AC) 2 / 3'ünü oluşturur. Simetri ile, kenarların toplam uzunluğu (AD, AE, AF, BD, BE, BF) kenarların uzunluğunun (AD, AE, AF, BD, BE, BF, CD, CE, CF) 2 / 3'üdür ). Ancak kenarların hiçbiri (DE, EF, DF) kesimde değildir. Yani bu kesimin oranı kesinlikle 2/3'ten az.

En uygun kesimin 2/3'ten önemli ölçüde daha az olduğu bir konfigürasyon bulmak için bu yapıyı optimize edebilmelisiniz. Bunu , aynı merkeze sahip iki eşkenar üçgende altı nokta alırsanız, daha küçük olanın büyüklüğünün büyüklüğü, daha sonra maks. yerine toplam ağırlık olur . $(\sqrt{6}-1)/5 \approx .2899$ $.6408$ $2/3$

— Peter Shor
kaynak

Güzel, haklısın! Başka bir zarif varsayım tozu ısırıyor ... Düzlemdeki sabitin 1/2'den büyük olup olmadığı ya da kümeleriyle elde edip edemeyeceğiniz hala açık bir soru. , burada . Ben daha çok düşüneceğim.

1 - O (k^{- α})

$1 - O(k^{-\alpha})$

k

$k$

α > 1

$\alpha > 1$

— Milos Hasan

Benim tahminim, doğru cevabın .64'ten çok daha düşük bir şey olmadığı, ancak alt sınırın nasıl gösterileceği hakkında hiçbir fikrim yok.

— Peter Shor