Sabit parametre ve yaklaşık algoritma arasındaki ilişki

Sabit parametre ve yaklaşım zor sorunları çözmek için tamamen farklı yaklaşımlardır. Farklı motivasyonları var. Yaklaşıklık, yaklaşık çözümle daha hızlı sonuç arar. Sabit parametre, k'nin üstel veya bazı fonksiyonu ve n'nin polinom fonksiyonu açısından zaman karmaşıklığına sahip kesin çözümü arar; burada n, girdi boyutu ve k parametredir. Örnek .$2^kn^3$

Şimdi benim sorum, herhangi üst orada ya yaklaşır ya da tamamen bir sorun için herhangi relationship.For örneği yok sabit parametre ve yaklaşım arasındaki ilişkiye dayanan sınır sonucu düşürmek olduğu söylenir sert bazıları için , c-yaklaşım algoritması veya PTAS'a sahip olmakla ilgisi yoktur. lütfen bazı referanslar sağlayınW [ i ] i > $P$$W[i]$$i>0$

Parametreli karmaşıklık ve yaklaşık algoritmalar arasında birkaç bağlantı vardır.

İlk olarak, bir sorunun standart parametrelendirmesini düşünün. Burada parametre, sorunun optimizasyon sürümünde optimize edeceğiniz şeydir (Vertex Cover problemi için tepe kapağının boyutu, Treewidth problemi için ağaç ayrışmasının genişliği vb.). Somut olarak Vertex Cover'a bakalım. Vertex Cover için doğrusal sayıda köşe noktası olan herhangi bir çekirdek, sabit faktörlü bir polinom zamanı yaklaşma algoritması gerektirir: yaklaşık çözüme, çekirdekleştirme algoritması tarafından çözüme zorlanan tüm köşeleri ve çekirdek örneğinin tüm köşelerini koyun . Öte yandan, yaklaşıklama faktörü üzerindeki daha düşük sınırlar, bir çekirdek büyüklüğünde daha düşük sınırlar anlamına gelir. Örneğin, Eşsiz Oyunlar Konvansiyonu , Khot ve Regev (JCSS 2008)Vertex Cover için, en fazla köşesine ( sahip Vertex Cover için bir çekirdeği dışlayan herhangi bir oranına sahip yaklaşım algoritmalarını dışlayın .$c<2$$ck$$c<2$

EDIT: Önceki paragrafta çekirdek alt sınır için argümantasyon çok gayri resmi ve bildiklerime göre, Vertex Cover için bile, çekirdek boyutu üzerindeki bu alt sınırların kanıtlanıp kanıtlanamayacağı açık. @Falk yorumlarda belirtildiği gibi, argüman bilinen (hepsi?) Çoğu çekirdek için geçerlidir. Ancak, çekirdek örneğinin uygulanabilir bir çözümünün ilk örnekte karşılık gelen çözümden farklı bir yaklaşım oranına sahip olduğu çekirdekleşme algoritmalarının varlığını nasıl dışlayabileceğini görmüyorum.

Sonra PTAS ve FPTAS arasında bir sorun var. içinde en uygun çözüm bulmak istiyorsak , parametreleştirebiliriz . Daha sonra bir PTAS, parametrelenmiş ayardaki bir XP algoritmasına karşılık gelirken, bir FPTAS bir FPT algoritmasına karşılık gelir. Yaklaşık bir alt sınır için, standart parametrelendirmesi W [1] -hard olan herhangi bir sorun için bir EPTAS beklemeyebiliriz: EPTAS'ı ile çalıştırmak sorunu tam olarak FPT zamanında çözecektir.$(1+\epsilon)$$1/\epsilon$$\epsilon=1/(k+1)$

Son olarak, bir FPT yaklaşım algoritması, FPT çalışma süresine ve parametreye bağlı olabilen yaklaşık bir orana sahip bir algoritmadır. Örneğin, Cliquwthth sorununun standart parametrelendirilmesinde, yaklaşık oranlı (Oum, WG 2005) olan bir FPT yaklaşım algoritması bulunurken, Bağımsız Hakim Kümenin standart parametrelendirmesinde FPT yaklaşımı yoktur. performans oranı algoritma hesaplanabilir bir fonksiyonu , FPT = W [2] sürece (Downey ve diğerleri., IWPEC 2006) . FPT yaklaşımı üzerine bir araştırma için bkz. (Marx, The Computer Journal 2008) .$(2^{3k+2}-1)/k$ $g(k)$$g$

Parametrelenmiş aracılığıyla yaklaşık sınıf karakterize eden bilinen teorem [1, Teorem 3.1] :$FPTAS$$PFPT$

Let bir ölçeklenebilir optimizasyon sorunu. Daha sonra bir sahiptir ancak ve ancak olduğu .$Q=(I_Q, S_Q, f_Q, opt_Q)$$NP$$Q$$FPTAS$$Q$$PFPT$

Buna karşılık, şu şekilde tanımlanır:$PFPT$

Bir optimizasyon problemi , parametreli versiyonu içinde çözülebiliyorsa polinom sabit parametre izlenebilir ( ; burada- giriş örneğinin boyutu .$NP$$Q$$PFPT$$O(|x|^{O(1)}k^{O(1)})$$|x|$$x$

İki yaklaşık sınıf için başka bir karakterizasyon, [2, Teorem 6.5] 'te önerilmektedir.

Bir sorun

• içinde ve eğer bir sahip olması durumunda ve standart parametreleştirme olan .p t a s ∞ X P $PTAS$$ptas^{\infty}$$XP^w$

• $FPTAS$$fptas^{\infty}$$PFPT^w$

$(f)ptas^{\infty}$$(XP)PFPT^w$$\frac{1}{\epsilon}$

1. Polinom zaman yaklaşım şemaları ve parametreli karmaşıklık . J. Chen ve diğ. / Kesikli Uygulamalı Matematik 155 (2007) 180-193.
2. Polinom-Zaman Yaklaşımının Yapısı . EJ van Leeuwen ve diğ. Teknik Rapor UU-CS-2009-034, Aralık 2009.