Dört Renk Teoremini ima eden varsayımlar

Dört Renk Teoremi (4CT), her düzlemsel grafiğin dört renklendirilebilir olduğunu belirtir. [Appel, Haken 1976] ve [Robertson, Sanders, Seymour, Thomas 1997] tarafından verilen iki kanıt vardır. Her iki kanıt da bilgisayar destekli ve oldukça korkutucu.

Grafik teorisinde 4CT'yi ima eden birkaç varsayım vardır. Bu varsayımların çözülmesi, muhtemelen 4CT'nin kanıtlarının daha iyi anlaşılmasını gerektirmektedir. İşte böyle bir varsayım:

Varsayım : bir düzlemsel grafik olsun, C bir renk kümesi olsun ve f : C → C sabit noktalı serbest bir icat. Let L = ( L hac : hac ∈ V ( G ) ) o şekilde olması$G$$C$$f : C \rightarrow C$$L = (L_v : v \in V(G))$

• Tüm v ∈ V için ≥ 4 ve$|L_v| \geq 4$$v \in V$
• Eğer daha sonra f ( α ) ∈ L v tüm v ∈ V tüm, a ∈ C .$\alpha \in L_v$$f(\alpha) \in L_v$$v \in V$$\alpha \in C$

Sonra , G grafiğinin rengi var .$L$$G$

4CT'yi ima eden bu tür tahminler biliyorsanız, lütfen her cevapta bir tane yazın. Bu tür varsayımların kapsamlı bir listesini bulamadım.

4CT, eşdeğerdir:

• Sınırlı bir disk ailesi tarafından indüklenen bir hipergrafı renklendirme (zorunlu olarak içten ayrılma değil, aynı zamanda keyfi üst üste gelebilecek diskler) en fazla dört renkle renklendirin .$[1]$
• Üçten fazla köşeye sahip olan her düzlemsel üçgenlemenin, her biri mızsası olmayan iki bağlı iki taraflı grafiğin birleşmesidir .$[2]$
• Üç boyutlu vektör çapraz ürün cebiri ile ilgili bir kombinasyon problemi .$[3]$
• Dilbilgisi G'nin tamamen belirsiz olduğu iddiası .$[4]$
• Herhangi bir pozitif tam sayı için , iki permütasyon eklemleyen en az bir imzalanabilir yol vardır S , n .$n$$S_n$

• Dört renk teoreminin cebirsel bir karşılığı. Eşdeğer bir polinom ailesinin bir polinom idealleri ailesine belirli bir sonlu alan üzerinde üye olmama iddiası .$[6]$

  1. Smorodinsky S. Kromatik sayıda geometrik hipergrafide .
  2. Mabry R. Bipartit Grafikler ve Dört Renk Teoremi .
  3. Kauffman LH Harita renklendirme ve vektör çapraz ürün .
  4. Cooper BJ ve diğ. Bir dilde doğru dört renk teoreminin teorik kanıtı .
  5. Eliahou S. ve diğ. İmzalı permütasyonlar ve dört renk teoremi .
  6. Howard L. Dört Renk Teoreminin Cebirsel Bir Reformu .

4 renk teoreminin başka bir mekanik doğrulaması , George Research , Microsoft Research Cambridge'de yapıldı. Kanıtındaki fark, teorinin tamamının Coq kanıt yardımcısı kullanılarak belirtilmiş ve mekanik olarak doğrulanmış olmasıdır, diğer kanıtlar sadece Assembly Dili ve C'de yazılmış olan çekirdek hesaplamasını içerir ve bu nedenle buggy olma riski taşır. Gonthier'in ispatı hem hesaplama hem de mantıklı olanları sadece 60.000 Coq satırında kapsar.

Blogumda bunun hakkında konuştum ve içgörümüz şudur: örneğin Tait'in durumu, en fazla o (n) hatası olan bir renklendirme olduğu için zayıflayabilir. Buraya bakın: http://rjlipton.wordpress.com/2009/04/24/the-four-color-theorem/

T. Saaty'ye bak, Guthrie'nin 4 renkli varsayımında American Math'ın 13 renkli varyasyonuna bak. Aylık, 79 (1972) 2-43, birçok örnek için.

Ayrıca, David Barnette'in Harita Renklendirme, Polyhedra ve Dört Renk Problemi adlı kitabında, MAA, Dolciani Serisi, Cilt 8, 1983'te pek çok örnek verilmiştir. Barnete'nin kitabındaki özellikle ilginç bir sonuç şudur: Eğer her yüzün yüzlerinin sayısı üçün katları olacak şekilde 3-Sevgililer bir dışbükey polihedron üretecek şekilde her zaman dışbükey bir polihedronun köşelerini kesmek her zaman mümkün ise, dört renk varsayımının gerçeği.

Hadwiger varsayım .

Yazıda Mutlak Düzlemsel ÇEKİLME ve Dört Renk Sanısı , Pavol Hell 4CT için çeşitli equivalente formülasyonları kanıtladı. Bunlardan biri aşağıdaki gibi okur:

Her düzlemsel grafik 4 renklendirilebilir (4CT), eğer mutlak düzlemsel bir geri çekilme varsa.

$H$$G$$G$$r: V(G)\to V(H)$$r(v)=v$$v\in V(H)$

Her köprüsüz kübik düzlemsel grafik 3 kenar renklendirilebilir. (Bu, Tait nedeniyle 4CT'ye eşdeğerdir.)

Dror Bar-Natan'ın "Lie Cebirleri ve Dört Renk Teoremi" adlı makalesi (Combinatorica 17-1 (1997) 43-52, en son Ekim 1999'da güncellenmiştir, arXiv: q-alg / 9606016 ) Lie cebirlerinin eşdeğer olduğu hakkında çekici bir açıklama içerir. Dört Renk Teoremi. İfadede ortaya çıkan kavramlar, düğümlerin sonlu tip değişmezleri (Vassiliev değişmezleri) ve 3-manifold teorisinde de görülür.

Bu yazıda 2.4 önerisi http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0012365X9500109A# 4CT için başka bir formülasyon sunar.

$G$$\Delta(G)$$G$$G$$\Delta(G)$$G$$G$$\Delta(G)$$\Delta(G)$

$G$$K(G)$$G$$K(G)$$G$
$G$$K(G)$

Daha fazla bilgi edinmek istiyorsanız, Gonthier'ın otomatik kanıtının üst düzey açıklaması okumaya değer.

Yuri Matiyasevich, Dört Renk Teoreminin birkaç olasılıklı restatrasyonu çalışmış ve renklendirmeler arasındaki iki benzerlik kavramı arasındaki pozitif korelasyonu içermektedir. Eşitlik kanıtları, teoremi ima eden varsayımlar için muhtemel bir gösterge olan bir grafik polinomuna dayanıyor.

• Georges Gonthier, Resmi Kanıt - Dört Renk Teoremi , Amerikan Matematik Derneği Bildirileri 55 (11) 1382–1393, 2008.
• Dört Renk Konjürasyonunun Bir Olasılık Eşdeğerinden Yuri Matiyaseviç, Teoriya Veroyatnostei'deki Kağıdın Tercüme Edilmesi, Primeneniya 48 411–416, 2003.
• Yuri Matiyasevich, Dört Renk Düşüncesinin Bazı Olasılıksal Açıklamaları, Grafik Teorisi Dergisi 46 167–179, 2004. ( ön baskı )

Ben sadece Batı'nın şu varsayımını bir Chalopin ve Gonçalves (STOC '09) makalesinde okudum:

Her düzlemsel grafik, yalnızca dört yön kullanarak düzlemdeki bölümlerin kesişim grafiğidir.

Paralel bölümler böyle bir temsilde bağımsız bir küme oluşturduğundan, bu varsayım 4CT'yi ima eder, ancak belki de daha güçlüdür.

Referans: Batı, Açık problemler . SIAM J Ayrık Matematik Bülteni, 2 (1): 10-12, 1991.

Bir yılan , 3-kenar-renklendirilemeyen, bağlı, köprüsüz bir kübik grafiktir. Vikipedi'nin ardından, 4CT'yi genelleyen snark varsayımı aşağıdaki gibidir:

Her snark, kenarlarından bazılarını bölerek Petersen grafiğinden oluşturulabilecek bir alt yazıya sahiptir.

Yine wikipedia'ya göre, bu varsayımın bir kanıtı 2001 yılında Robertson, Sanders, Seymour ve Thomas tarafından açıklandı.

"Maksimum Düzlemsel Grafiklerin Yüzü Etiketlemesi", son zamanlarda yayınlanan ve azami düzlemsel grafiklerin 4 rengini yüz etiketlemenin tutarlılığına dönüştürdüğüm eski kitabımın başlığı. Makaleye bağlantı http://www.math.nsysu.edu.tw/~amen/2011/091021-3.pdf şeklindedir.

Gibi

LH Kauffman, Harita renk teoremini yeniden düzenleme , Ayrık Matematik 302 (2005) 145–172

işaret, Asal prensibi nedeniyle G. Spencer-kahverengi hem de Eliahou-Kryuchkov tahmin FCT eşdeğer reformulations bulunmaktadır.

• S. Eliahou, İmzalı çapraz çeviriler ve dört renk teoremi, Avrupa J. Combin. 20 (1999) 641-646.
• SI Kryuchkov, Dört renk teoremi ve ağaçlar, IV Kruchatov, Atom Enerjisi Enstitüsü, Moskova, 1992, IAE-5537/1.
• G. Spencer-Brown, Form Yasaları, Gesetze der Form, Bohmeier Verlag, 1997.

Garry Bowlin ve son 12 May 2013 revize Matthew G. Brin kağıt "Associahedra içinde Renkli Yolları aracılığıyla Boyama Düzlemsel Grafikler", arXiv: 1301,3984 math.CO sayfa 26 aşağıdaki varsayımı içerir:

Tahmin 6.4. Aynı sayıda yaprakları olan her bir çift, çift ağaç (D, R) çifti için, D için bir işaret ataması ve D için geçerli olan rotasyon sembollerinin w kelimesi vardır.

Makalede yer alan önceki önermelerden ve teoremlerden sonraki 6.4 numaralı çıkışın 4CT'ye eşdeğer olduğu belirtilmiştir.

Bir k Akışlı bir yönsüz grafikte G , her kenar değiştirilmesi ile türetilen bir yönlendirilmiş grafiktir G bir yay ile bunu arasında bir tamsayı atama -K ve k , özel, öyle ki, G her köşe, tamsayıların toplamı için o köşeye işaret eden yaylara atanmış olan yaylara atanan tam sayıların toplamına eşittir. Bir NWZ (hiçbir yerde sıfır değil) k- akışı, 0'a hiçbir yay atanmamış olan bir k- akışıdır.

Herhangi bir düzlemsel grafik için G , ikili G bir düzlemsel yerleştirme her yüz için bir köşe ihtiva grafiktir G ve her kenar bunları bağlayan bir çift pay bir kenarı boyunca iki köşe olduğu karşılık gelen yüzleri G aralarında payı kendi sınırları içinde. TUTTE Akış-Boyama Dualite teoremi, (ki silme bileşenlerinin sayısını arttıracaktır yani kenar) bir NWZ sahip bir kıstak ile düzlemsel bir grafiğe göre k Akışlı olan ikili, ancak ve ancak, eğer k -colourable. Başka bir deyişle, düzlemsel bir grafik, eğer çiftinin bir NWZ 4-akışına sahipse 4 renklendirilebilirdir.

4CT'nin söz konusu düzlemsel grafiğin döngülere sahip olmamasını (herhangi bir tepe noktası kendisine bağlayan kenarlar) gerektirmediğini unutmayın; çünkü bir ilmek içeren herhangi bir grafik, herhangi bir renk kümesiyle köşe renkleri oluşturamaz; renginden bağımsız olarak aynı rengin tepe noktası.

Bunun üzerinde çalışıyorum:

Üst üste binen kağıt sayfalarından yapılan dikdörtgen haritalar için teoremi ispatlayabilirseniz, 4ct'yi de kanıtladınız. Ek olarak, aramada yalnızca 5 kenarı veya daha fazlası olan yüzleri olan haritalar dikkate alınabilir.

Ayrıntılar için http://4coloring.wordpress.com/ adresine bakın.