Dikdörtgen bir matrisin sırasını hesaplamak için en hızlı algoritma nedir?

Bir matrisi verildiğinde ( varsayılarak ), sütunların sırasını ve temelini hesaplamak için en hızlı algoritma nedir?m ≥ $m \times n$$m \ge n$

Bir zaman deterministik algoritması ve bir zaman rastgele algoritması anlamına gelen doğrusal matroid kesişimi ile çözülebileceğinin farkındayım . Bir var daha doğrudan matris çarpımı sorunu (veya Gauss yok etme) azaltmak zaman deterministik algoritması?O ( m n ω - 1 ) O ( m n ω - 1$O(mn^{1.62})$$O(mn^{\omega-1})$$O(mn^{\omega-1})$

Herhangi bir için zamanında matrisini kademeli forma getirebilirsiniz . Bürgisser, Clausen, Shokrollahi, Bölüm 16.5 tarafından yazılan "Cebirsel Karmaşıklık Teorisi" kitabına bakınız.O ( n ω + ϵ ) ϵ > $2n \times n$$O(n^{\omega + \epsilon})$$\epsilon > 0$

Şimdi bu prosedürü matrisinize kez uygularsınız . Bu, aritmetik işlemlerle bir algoritma verir .m × n O ( m n ω - 1$m/n$$m \times n$$O(mn^{\omega-1})$

Ehelon forma matrisi getirirseniz , daha sonra boyutunda sıfır matris içerir . Kalan -matrix'i alırsınız, giriş matrisinize yeni bir -block eklersiniz ve bunu echelon formuna getirirsiniz.n × n n × n n × $2n \times n$$n \times n$$n \times n$$n \times n$

bir matris A'nın sırasını hesaplayabiliriz; burada sayıdır sıfırdan farklı girişlerin ve sıralamasıdır . Bu, Cheung ve ark. ark. [CKL'13] ve üzerinde ikili arama . Bu, yukarıda belirtilen algoritmasından daha hızlıdır .$m \times n$$\tilde{O}(\textrm{nnz}(A) + r^{\omega})$$\textrm{nnz}(A)$$A$$r$$A$r O ( m n ω - 1 )$r$$O(mn^{\omega-1})$