Herhangi bir algoritmik problemin zaman karmaşıklığına sahip olması sayılır mı?

Sayma olarak adlandırdığım şey, bir işleve çözüm sayısını bulmaktan oluşan sorundur. Daha doğrusu, $f:N\to \{0,1\}$ (ille de kara kutu değil) işlevi verildiğinde , yaklaşık $\#\{x\in N\mid f(x)= 1\}= |f^{-1}(1)|$.

Bir çeşit sayımı içeren ve zaman karmaşıklığının bu temel sayma probleminden büyük ölçüde etkilendiği algoritmik problemler arıyorum.

Tabii ki, sorunları kendileri saymayan problemler arıyorum. Ve bu sorunlar için dokümantasyon sağlayabilirseniz çok memnun oluruz.

$\Theta(n^2)$$\Omega(n^2)$$O(n^2)$

$\Theta(n^2)$$\Omega(n^2)$$\binom{n}{2}$ kesişme noktalarını işaretleyin ve kopyaları arayın.

Benzer şekilde, elemanlarının üçlüsünün sıfıra eşit olduğu bir sayı kümesi vardır . Bu nedenle, belirli bir kümenin sıfıra toplanan üç öğe içerdiğini sınamak için herhangi bir algoritma (belirli bir sınıf ağaç sınıfı tarafından modellenir) süresi gerektirir . ( Bazı günlükleri bit düzeyi paralelliğiyle tıraş etmek mümkündür , ama her neyse.)$\Theta(n^2)$$\Omega(n^2)$

Tezimden başka bir örnek de Hopcroft'un problemidir: Düzlemde nokta ve çizgi verildiğinde , herhangi bir nokta herhangi bir çizgi içeriyor mu? En kötü nokta noktası olayı sayısının olduğu bilinmektedir . Kısıtlı (ama yine de doğal) bir hesaplama modelinde, zamanının tek bir nokta insidansı olup olmadığını belirlemek için zaman gerektiğini kanıtladım . Sezgisel olarak, tüm yakınındaki olayları numaralandırmalı ve gerçekten bir insidans olup olmadığını görmek için her birini kontrol etmeliyiz.$n$$n$$\Theta(n^{4/3})$$\Omega(n^{4/3})$$\Theta(n^{4/3})$

Resmi olarak, bu alt sınırlar hala sadece zekadır, çünkü mevcut problem için, özellikle Hopcroft problemi için uzmanlaşmış sınırlı hesaplama modelleri gerektirirler). Bununla birlikte, RAM modelindeki bu problemler için daha düşük sınırların kanıtlanması, diğer herhangi bir alt sınır problemi kadar zor olabilir (yani, ipucumuz yoktur) - Patrascu ve Williams'ın 3SUM genelleştirmeleri ile üstel süreye ilişkin SODA 2010 belgesine bakın hipotez.

Ne demek istediğini tam olarak emin değilim ama sorunları sayıyor gibi görünmüyor bir sürü sorun var, ancak, onları çözmek için bildiğimiz en iyi yolu nesneleri saymaktır. Böyle bir sorun, bir grafiğin bir üçgen içerip içermediğini tespit etmektir. Bilinen en hızlı algoritma, (yönlendirilmemiş) grafikteki üçgen sayısının 6 katı olan bitişiklik matrisinin küpünün izini hesaplamaktır. Bu, -Winograd matris çarpma algoritmasını kullanarak O ( ) zaman alır ve ilk olarak 1978'de Itai ve Rodeh tarafından fark edildi . yine matris çarpımı ile k-cliqu sayısı.$|V|^{2.376}$

Valiant, bir matrisin kalıcılığını bulma sorununun #P için tamamlandığını kanıtladı . Konu hakkındaki wikipedia sayfasına bakınız . #P, bir NP makinesinin kabul yollarının sayımına karşılık gelen karmaşıklık sınıfıdır.

Bipartite Planar (ve log cinsi) Mükemmel Eşleme, Kastelyn'in düzlemsel eşleşmeleri (Galluccio ve Loebl tarafından genişletilen ve Kulkarni, Mahajan ve Vardarajan tarafından paralelleştirilen) sayma algoritmasının, sorunun arama sürümünde bile önemli bir rol oynadığı bir sorundur. İlgili tüm referanslar aşağıdaki makalede bulunabilir:

NC'de bazı mükemmel eşleşmeler ve mükemmel yarı integral eşleşmeler. Raghav Kulkarni, Meena Mahajan ve Kasturi R. Varadarajan. Chicago Teorik Bilgisayar Bilimleri Dergisi, Cilt 2008 Makale 4.

"Büyük ölçüde etkilenmiş" i bir azaltma olarak değil, yumuşak bir kısıtlama olarak ele alacağım. Bu anlamda, hesaplama geometrisindeki MANY problemlerinin altında yatan bazı kombinatoryal yapı tarafından sınırlanan çalışma süreleri vardır. örneğin, bir şekil düzenlemesinin hesaplanmasındaki karmaşıklık, bu tür düzenlemelerin gerçek karmaşıklığına doğrudan bağlıdır.

Bunun bir başka topikal örneği, nokta deseni eşleşmesindeki çeşitli sorunların, bir nokta kümesindeki tekrarlanan mesafelerin sayısı gibi tahmini miktarlara kadar kaybolan çalışma sürelerine sahip olmasıdır.

Aradığınız şeyin bu olup olmadığından emin değilim, ancak NP-Complete problemlerinin faz geçişleri, sadece başka bir sayma biçimi olan olasılıksal argümanlara dayanır.

LLL , başarısı Subset Sum çözümü olma kriterlerini karşılayan mevcut yüksek olasılıklı kısa kafes vektörlerine dayanan bazı 'düşük yoğunluklu' Altküme Toplamı problemlerini çözmek için kullanılmıştır. Anket Yayılımı kritik eşiğe yakın çözümler bulmak için çözüm alanının yapısına (ve değişkenleri düzelttikçe çözüm sayısına) dayanır.

Borglar, Chayes ve Pittel , (Üniform) Rastgele Sayı Bölme Probleminin faz geçişini hemen hemen tamamen karakterize etmişlerdir ve bu nedenle Sayı Bölme Probleminin belirli (rastgele) bir örneği için kaç çözüm bekleyebileceğini karakterize etmişlerdir.