Nurikabe'nin (muhtemelen özlü) karmaşıklığı nedir?

Nurikabe , Mayın Tarlası / Nonogramlara gevşek bir şekilde benzeyen, kısıt tabanlı bir ızgara doldurma bulmacasıdır; sayılar her hücre için açma / kapama değerleriyle doldurulacak bir ızgaraya yerleştirilir, her sayı o büyüklükteki bağlı 'açık' hücrelerin bir bölgesini ve 'kapalı' hücreler bölgesinde bazı küçük kısıtlamaları gösterir ( bağlı olmalı ve bitişik 2x2 bölge içeremez). Wikipedia sayfasında daha açık kurallar ve örnek bulmacalar var.

Genel olarak, bu tür bulmacalar NP-tam olma eğilimindedir ve Nurikabe bir istisna değildir; NP'ye düşüyorlar çünkü çözümün kendisi soruna (polinom olarak doğrulanabilir) bir tanık olarak hizmet ediyor. Ancak çoğu benzer bulmacanın aksine, Nurikabe örnekleri özlü olabilir: ızgarasındaki Sudoku öğelerinin çözülebilir olmasını gerektirir n-1'den az hediye sunulursa, eksikler arasında ayrım yapmanın bir yolu yoktur. Semboller), Nonogramlar açıkça her satır veya sütun için en az bir tane gerektirir ve Mayın Tarlası hücrelerin en az 1 \ 16'sı üzerinde verilmiş olmalıdır veya belirli bir yanında olmayan (ve dolayısıyla durumu belirlenemeyen hücreler olacaktır) ). Ama bir Nurikabe bulmacasınınΘ ( n ) n - 1 $n\times n$$\Theta(n)$$n-1$ Θ(n2$1\over16$$\Theta(n^2)$ , $\mathrm{O}(1)$ bu boyutun her birini verir, böylece $\Theta(\log(n))$ bitleri n büyüklüğünde bir Nurikabe bulmacasını belirtmek için yeterli olabilir $n$- veya tersine çevirerek, $k$ bitleri $k$ cinsinden üslü bir Nurikabe örneği belirtmek için yeterli olabilir , yani tek garanti sorunun NEXP'de yattığıdır.

Ne yazık ki, Nurikabe'nin sertliğinin kanıtları Tüm bulduğum yapıları sabit boyutlu olarak kullanıyorum, bu yüzden örnekleri logaritmik yerine ızgara boyutunda polinom ve tüm çözülebilirleri göz ardı edemiyorum 'özlü' Nurikabe bulmacaları, özümler kadar özlü olarak tarif edilebilecek ve doğrulanabilecek ek yapıya sahiptir; örneğin, boyutunda 2 çeşit bulmaca içeren bir örnek , her biri birliği olan açık ve kapalı hücrelerin bölgelerine yol açarΘ ( n 2 ) O ( 1 $\Theta(n^2)$$\Theta(n^2)$$\mathrm{O}(1)$dikdörtgenler ve kendi öz açıklamaları var. Herkes bu bulmacanın temel NP-tamlık sonucunun ötesinde yapılan ek araştırmaları ve özellikle de olası özlü vakalar için başka karmaşıklık sonuçlarını biliyor mu?

(not: bu aslında matematikte sorulmuştur.SE , ancak henüz herhangi bir cevap gelmedi ve bu site için uygun bir araştırma seviyesi gibi görünüyor)

Gerçekten soruyorsunuz: Nurikabe NP'de mi?

Nurikabe NP-zordur, çünkü bir NP-komple problemini Nurikabe karar problemine indirgemek için kullanılabilecek polinom boyutlu cihazlar üretilebilir. Holzer, Klein ve Kutrib ve ayrıca McPhail ve Fix'i posterlerinde yapıyorlar (her ikisi de Wikipedia makalesinde atıfta bulunuluyor).

Her iki yazar grubu da sorunun önemsiz bir şekilde NP'de olduğunu varsayar ve üyelik sorununu elinden alır. Özlü örneklerle ilgili rahatsızlığınız yerinde görünüyor - sorunun NP'de olduğuna inanmıyorum. Karar sorununu resmileştirmek için aşağıdaki yolu düşünün:

İKİLİ NURIKABE
Girdi: bir Nurikabe panosunu temsil eden ikili ve m ve n tamsayıları ve her biri tahtadaki bir konumu ve o pozisyonda yazılmış bir pozitif tamsayıyı gösteren üçlü bir liste.
Soru: Kalan tahta konumları, Nurikabe kısıtlamalarına uyularak iki renkle renklendirilebilir mi?

Eğer ve bunun yerine belirtilen tekli olarak , o zaman belirleme karar problemi , belirli bir Nurikabe örneğine bazı (mutlaka eşsiz olan) bir çözelti varsa bir çözelti en belirtilebilir gibidir, NP bit sonra polinom olan giriş boyutunda.n m $m$$n$$mn$

Buna karşılık, ikili kodlamada bir sorun vardır (işaret ettiğiniz gibi): eğer birinin sadece bir büyük kısıtlaması varsa (örneğin, ortasına yerleştirilmiş board), bir çözüm, girişinin boyutunda üstel olan bitlerin temsil edilmesini gerektirir . Bu, küçük sertifikalar her zaman mevcut olmadığı sürece sorunun NP'de olmadığı anlamına gelir.m × n m n - 1 Θ ( $(m-2)(n-2)$$m \times n$$mn-1$$\Theta(\log\, m + \log\, n)$

O zaman sorunuz şu : tüm ikili Nurikabe örnekleri için polinom zamanında kontrol edilebilen polinom boyutlu sertifikalar var mı?

Bu tür sertifikaların zorunlu olarak mevcut olduğu açık değildir. Ayrıca, kısa ve öz doğrulanabilir sertifikaların var olamayacağını kanıtlamak da nasıl açık bir şekilde ortaya çıkacak.

Bununla birlikte, benzersiz çözümlere getirilen kısıtlama , sorunun aslında ABD'de olduğu anlamına gelir , bu yüzden ortak NP açısından zor ve bu nedenle NP'de olma olasılığı düşüktür. Mesele şu ki, eğer biri "benzersiz bir çözüme sahipse" bir Nurikabe kısıtı olarak kabul edilirse (insanlara sunulan örneklerin arzu edilen bir özelliğinin aksine), o zaman bir çözüm olduğunu göstermek yeterli değildir, ama aynı zamanda başka hiçbir çözümün mümkün olmadığını gösterir. Bu gereksinim, sorunun muhtemelen NP'de olmamasını sağlamak için tek başına yeterlidir. Bu, sorunun tekil versiyonu için bile geçerlidir.

Özetle: benzersiz çözüm gereksinimini gevşetir ve tahta boyutunu tekil olarak belirtirse, karar sorunu NP'dedir; benzersiz olmayan çözümler ve ikili pano boyutu ile karar sorununun NP'de olup olmadığı belirsizdir; ve benzersiz çözümlerle karar sorunu ABD açısından zordur ve bu nedenle kart boyutunun her ikisini de kodlamak için NP'de olması olası değildir.