L2'nin L1'e izometrik gömülmesi

Bir verilen bilinen arasında -Point alt kümesi ℓ d 2 (verilir N noktaları R d Öklid mesafe ile) bu izometrik katıştırdıktan mümkündür .$n$$\ell_2^d$$n$${\mathbb R}^d$$\ell^{n\choose 2}_1$

İzometri (muhtemelen, randomize) polinom süresinde hesaplanabilir mi?

Sonlu hassasiyet sorunları olduğundan, kesin soru

ve içindeki noktalarından oluşan bir kümesi göz önüne alındığında , select hesaplanabilir (olasılıkla, rastgele kullanılarak) zaman polinomu ve logaritmik, böylece her var$X$$n$${\mathbb R}^d$$\epsilon >0$$f: X \to {\mathbb R}^{n\choose 2}$$n$$1/\epsilon$$x,y\in X$

$|| f(x)-f(y)||_1 \leq ||x-y||_2 \leq (1+ \epsilon) \cdot || f(x)-f(y) ||_1$

(Not: üzerinde ve cinsinden zaman polinomunda yüksek olasılıkla bozulma ile bulunabileceğinin farkındayım. rastgele çizgiler, ama emin boyut sayısı yapıcı indirgenebilir etmiyorsam çift ya da zaman çok daha büyüktür , ve bilmiyorum orada üstel olduğu vakasını ele almak için kullanılan bir polinom zaman yöntemidir .$(1+\epsilon)$$n$$1/\epsilon$$O(\epsilon^{-2} \cdot \log n)$$n\choose 2$$O(n^2)$$1/\epsilon$$n$$1/\epsilon$$n$

Suresh benden yukarıdaki yorumlarımı bir cevaba birleştirmemi istedi, işte burada. Aslında, asıl sorunun cevabı olduğundan emin değilim, zira, Öklid uzayının girişinin boyutunun sabit olmadığı zaman polinom zamanının nasıl yapılacağı açık değildir. En azından orijinal soru sorduğu gibi büyük ile ilgili herhangi bir problemden kaçınma avantajına sahiptir , çünkü herhangi bir yaklaşımı içermez ve sabit için polinom görünür .$1/\epsilon$$d$

Her neyse: İntegral geometriden ötürü öklid uygarlıkları altında değişmeyen -boyutlu Öklid uzayında hiper düzlem kümeleri üzerinde standart bir ölçü vardır . Bu, herhangi bir sınırlanmış uzunluktaki eğri uzunluğunun, bu özelliğe sahip hiperdüzlem ölçüsü ile orantılıdır enine Bir hiper geçerse yani çokluğu ( , iki kez daha sonra geçiş hiperdüzlem toplam ölçümüne iki katkı ). Özellikle, eğer bir çizgi segmenti ise, çokluk komplikasyonu ortaya çıkmaz ve geçen hiper düzlemlerdeki ölçüyü tam olarak uzunluğu kadar normal hale getirebiliriz .$d$$C$$C$$C$$C$$C$$C$$C$. ( içeren hiper düzlemler sıfır ölçüye sahiptir, bu nedenle sonsuz çokluk için endişelenmeyin.)$C$

Şimdi, d-boyutlu uzayda bir n nokta kümesi verildiğinde, noktaların her bir kısmı için bir bir neden olduğu iki alt bir koordinatı verin. Bölüm koordinat değerinin bir tarafındaki noktaları sıfıra ve bölüm koordinat değerinin diğer tarafındaki noktaları, bu bölümü indükleyen hiper düzlem kümesinin ölçüsüne eşit olarak verin.$\ell_1$

Eğer ve , noktalarından herhangi ikisi ise, , geçiş çizgisi segmenti ayarlamasına izin ve , bir tarafta ve diğer tarafta bulunan her olası hiper düzlem bölümünün oluşturduğu altkümeleri olsun . O zaman , ayrık birliğidir ve ve arasındaki koordinat farkları sadece altkümelerinin . Bu nedenle, , ve$p$$q$$n$$K$$pq$$K_i$$K$$p$$q$$K$$K_i$$p$$q$$K_i$$\ell_1$$p$$q$ ( ölçülerinin toplamı ) ile arasındaki yalnızca orijinal mesafesi olan ölçüsüdür .$K_i$$K$$\ell_2$$p$$q$

Hesaplamalı geometriler için, aynı yapının alternatif bir açıklaması faydalı olabilir: giriş noktalarını hiper düzlemlere dönüştürmek için yansıtmalı dualiteyi kullanmak ve hiper düzlemleri noktalara ayırmak için projektif dualiteyi kullanın . Hiper düzlem kümelerindeki integral geometri ölçüsü daha sonra nokta kümeleri üzerinde daha standart bir ölçüme dönüştürülür, ve arasındaki mesafe iki hiper düzlem arasındaki çift kama ölçüsüne çiftleşir ve hiper düzlem düzenlemesi bu çift kamayı daha küçük hücrelere böler . Bir noktanın koordinat değeri, düzenleme içindeki hücrelerin birinin ölçüsüdür (çift hiper düzlem bu koordinatın hücresinin altındaysa) veya sıfır (çift hiper düzlem hücrenin üstünde ise). bu yüzden$n$$n$$p$$q$$\ell_1$ ve arasındaki uzaklık sadece çift hücrelerin ölçülerinin toplamıdır; bu, tüm çift kamanın ölçüsü ile aynıdır. Bu ikili bakış açısı, bu şekilde bulunan gömme boyutunu hesaplamayı da kolaylaştırır: sadece düzlem düzeneğindeki hücrelerin sayısıdır ( veya daha doğrusu .$p$$q$$O(n^d)$$\sum_{i=0}^d{n\choose i}$

Şimdiye kadar, bu, tamamen deterministik ve kesin bir yerleştirme sağlar . Ancak daha küçük bir boyut istedik, . . İşte Luca'nın Carathéodory teoremi hakkındaki yorumu burada ortaya çıkıyor. metrikler kümesi , işlevinde sıralanmamış nokta çiftlerinden gerçek sayılara kadar tüm fonksiyonların boyutlu alanını ve yukarıdaki geometrik argüman şöyle diyor: Öklid metriği bu koniye aittir. Koninin aşırı ışınlarındaki noktalar tek boyutludur$\ell_1^{O(n^d)}$$\ell_1^{n\choose 2}$$\ell_1$$n\choose 2$$\ell_1$psödometri (noktaların iki kümeye bölündüğü, tek bir kümenin içindeki tüm mesafelerin sıfır olduğu ve bölünme üzerindeki tüm mesafelerin eşit olduğu) ve Carathéodory, koninin içindeki herhangi bir noktanın (önem verdiğimiz nokta dahil) olabileceğini söylüyor. sayısı en fazla ortam alanının boyutunda olan aşırı ışınlar üzerindeki noktaların dışbükey bir kombinasyonu olarak gösterilir, . Ancak, en fazla tek boyutlu metrikleri bir dışbükey birleşimi bir metriktir.$n\choose 2$$n\choose 2$$\ell_1$$\ell_1^{n\choose 2}$

Son olarak, select boyutlu gömmeyi hesaplamak için nasıl devam edebiliriz ? Bu noktada, metrikleri (başlattığımız mesafe metriği) boyutlu dışbükey koni konusunda sadece bir noktaya sahip değiliz , aynı zamanda koninin bir uç noktalarına da sahibiz. (girişin, hiper düzlemler tarafından indüklenen iki altkümeye bölünmesiyle ilgili olarak), bizim metrikimizin bu aşırı noktaların dışbükey bir birleşimi olması - küçük , bu koninin sahip olduğu aşırı ışınları üzerinde büyük bir gelişmedir genel. Şimdi tek yapmamız gereken kümemizden aşırı noktalardan kurtulan açgözlü bir algoritma uygulamak, sadece seçene kadar$n\choose 2$$n\choose 2$$\ell_1$$O(n^d)$$d$$2^n-2$$n\choose 2$onlardan kaldı. Her adımda, metrikimizin hala kalan aşırı noktaların dışbükey gövdesi içinde olduğu, sadece doğrusal bir programlama fizibilite sorunu olan değişmez olarak kalmamız gerekiyor ve bunu yaparsak, Carathéodory her zaman bir dizi kalmasını sağlayacak , dışbükey gövdesi giriş ölçüsünü içeren aşırı nokta .$n\choose 2$