Türler öneri midir? (Türleri tam olarak nedir?)

Tip sistemleri hakkında çok fazla şey okudum ve kabaca neden tanıtıldıklarını anlıyorum (Russel'in paradoksunu çözmek için). Ayrıca programlama dillerinde ve prova sistemlerinde pratik önemlerini de kabaca anlıyorum. Bununla birlikte, bir türün ne olduğuna ilişkin sezgisel fikrimin doğru olduğuna tam olarak emin değilim.

Benim sorum şu, türlerin teklif olduğunu iddia etmek geçerli midir?

Başka bir deyişle, "n, doğal bir sayıdır" ifadesi, "n," doğal sayı "türüne sahiptir" anlamına gelir; bu, doğal sayıları içeren tüm cebirsel kuralların n için geçerli olduğu anlamına gelir. (Yani başka bir deyişle, cebirsel kurallar ifadelerdir. Doğal sayılar için geçerli olan ifadeler de n için geçerlidir.)

Öyleyse bu matematiksel bir nesnenin birden fazla tip olabileceği anlamına mı geliyor?

Dahası, setlerin tiplerle eşdeğer olmadığını biliyorum çünkü tüm setlerin setine sahip olamıyorsunuz. Bir küme , sayı veya işleve benzeyen bir matematiksel nesne ise , türün bir tür meta-matematiksel nesne olduğunu ve aynı mantıkla türün bir meta-meta-matematiksel nesne olduğunu iddia edebilir miyim ? (her "meta" nın daha yüksek bir soyutlama seviyesini gösterdiği anlamına gelir ...)

Bunun kategori teorisi ile bir bağlantısı var mı?

Türlerin kilit rolü, bir evrende var olan her şeyi göz önünde bulundurmak yerine, ilgilenilen nesneleri farklı evrenlere bölmektir. Başlangıçta paradokslardan kaçınmak için türler tasarlandı, ancak bildiğiniz gibi başka birçok uygulamaları var. Türler, nesneleri sınıflandırmanın veya sınıflandırmanın bir yolunu verir ( blog girişine bakın ).

Bazıları önermelerin olduğu sloganla çalışır , bu nedenle sezginiz kesinlikle size iyi hizmet eder, ancak Steve Awodey ve Andrej Bauer'ın [Türleri] gibi Öneriler gibi , aksi halde her türün ilgili bir önerme olduğunu iddia eden işler de vardır. Ayırt etme, türlerin hesaplamalı içeriğe sahip olması nedeniyle yapılır, oysa önermeler yoktur.

Bir nesne, alt yazma ve tür baskıları nedeniyle birden fazla türe sahip olabilir .

Tipler genellikle türlerin türlerin rolünü oynadığı bir hiyerarşide düzenlenir, ancak türlerin meta-matematiksel olduğunu söyleyene kadar gidemem. Her şey aynı düzeyde devam ediyor - bu özellikle bağımlı türlerle uğraşırken söz konusu olan bir durumdur .

Tipler ve kategori teorisi arasında çok güçlü bir bağlantı var. Nitekim Bob Harper (Lambek'ten alıntı), Mantıkların, Dillerin (türlerin bulunduğu yer) ve Kategoriler'in kutsal bir üçlü oluşturduğunu söylüyor . Alıntı yapmak:

Bu üç yön üç ibadet mezhebinin doğmasına yol açar: Kanıt ve önerilere öncelik veren Mantık; Programlara ve türlere öncelik veren diller; Harita ve yapılara öncelik veren kategoriler.

Kategori Teorisi ile ilişkiyi görmek için Mantık ve Programlama Dilleri (türler önermedir) ile Kartezyen Kapalı Kategoriler arasındaki bağlantıyı görmek için Curry-Howard Yazılığına bakmalısınız .