zamanında matris ürün doğrulamasının yapılabileceği en genel yapı nedir ?

1979'da Freivalds , matris ürünlerinin herhangi bir alan üzerinde doğrulanmasının randomize sürede yapılabileceğini gösterdi. Daha resmi olarak, bir F alanından girdilerle üç A, B ve C matrisi verildiğinde, AB = C'nin rastgele bir zaman algoritmasına sahip olup olmadığını kontrol etme problemi .$O(n^2)$$O(n^2)$

Bu ilginçtir, çünkü matrisleri çoğaltmak için bilinen en hızlı algoritma bundan daha yavaştır, bu nedenle AB = C'nin C hesaplamasından daha hızlı olup olmadığını kontrol edin.

Matris ürün doğrulamasının hala zaman (randomize) algoritmasına sahip olduğu en genel cebirsel yapının ne olduğunu bilmek istiyorum . Orijinal algoritma tüm alanlarda çalıştığından, tüm integral alanlarında da çalıştığını düşünüyorum.$O(n^2)$

Bu soruya verebileceğim en iyi cevap Yol, Matris ve Üçgen Sorunları Arasındaki Subkübik Eşdeğerliklerdeydi ve burada "halkalar üzerinde matris ürün doğrulaması rasgele zamanda [BK95] 'da yapılabilir. ([BK95]: M. Blum ve S. Kannan. Çalışmalarını kontrol eden programlar tasarlamak. J. ACM, 42 (1): 269-291, 1995.)$O(n^2)$

Birincisi, halkalar bu sorunun randomize algoritmasına sahip olduğu en genel yapı mıdır? İkinci olarak, [BK95] 'in sonuçlarının tüm çalmalarda zaman algoritmasını nasıl gösterdiğini göremedim . Birisi bunun nasıl çalıştığını açıklayabilir mi?O ( n 2$O(n^2)$$O(n^2)$

İşte neden halkalar üzerinde çalıştığına dair hızlı bir argüman. , B , C matrisleri göz önüne alındığında , rastgele bir bit vektörü v seçtikten sonra A B v = C v olup olmadığını kontrol ederek A B = C'yi doğrularız . A B = C ise bu açıkça geçer .$A$$B$$C$$A B = C$$v$$ABv = Cv$$AB = C$

Diyelim ki ve A B v = C v . Let D = A B - C . D , D v = 0 olan sıfır olmayan bir matristir . Bunun olma olasılığı nedir? Let D [ I ' , J ' ] sıfırdan farklı bir giriş olabilir. Varsayımla, ∑ j D [ i ′ , j ] v [ j ] = $AB \neq C$$ABv = Cv$$D = AB - C$$D$$Dv = 0$$D[i',j']$$\sum_{j} D[i',j] v[j] = 0$. Olasılık ile , v [ j ' ] = 1 elimizdeki yüzden,$1/2$$v[j'] = 1$

.$D[i',j'] + \sum_{j\neq j'} D[i',j] v[j] = 0$

İlave işlemi altındaki herhangi bir halka bir katkı grubudur, bu nedenle , yani - D [ i ′ , j ′ ] 'in benzersiz bir tersi vardır . Şimdi, kötü olayın olasılığını - D [ I ' , J ' ] = Σ j ≠ j ' D [ I ' , j ] v [ j ] , en fazla olduğu 1 /$D[i',j']$$-D[i',j']$$-D[i',j'] = \sum_{j\neq j'} D[i',j] v[j]$$1/2$. (Bunu görmenin bir yolu "ertelenmiş kararlar ilkesidir": toplamın ' e eşit olması için , en az bir diğer D [ i ′ , j ] sıfırdan farklı olmalıdır. v [ j ] bu sıfırdan farklı girişlere karşılık gelir. Bunlardan biri hariç tüm bu v [ j ] 'leri en uygun şekilde ayarlasak bile , sonuncusu için 0 veya 1 olma olasılığı hala eşittir.$-D[i',j']$$D[i',j]$$v[j]$$v[j]$$0$$1$Ama yine de sadece son toplamı yapabilir bu değerlerden biri için eşit .) Yani olasılık en azından ile 1 / 4 , başarılı bulmak D v ≠ 0 olduğunda, D sıfırdan farklıdır. (Not v [ j ] ve v [ j ′ ] bağımsız olarak j ≠ j ′ için seçilir .)$-D[i',j']$$1/4$$Dv \neq 0$$D$$v[j]$$v[j']$$j \neq j'$

Gördüğünüz gibi, yukarıdaki argüman çıkarmaya bağlıdır. Bu yüzden (örneğin) keyfi değişmeli yarılanmalar üzerinde çalışmaz. Belki cebirsel yapının çarpma özelliklerini gevşetebilir ve yine de sonucu elde edebilirsiniz?