Düzlemsel mesafe koruyucusunun varlığı?

G'nin n-düğümü yönlendirilmemiş bir grafik olmasına ve T'nin terminaller olarak adlandırılan V (G) 'nin bir düğüm alt kümesi olmasına izin verin . Bir mesafe koruyucu (G, T) özelliği tatmin eden bir grafiktir, H

T'deki tüm u, v düğümleri için (H'nin mutlaka G'nin bir alt çizgisi OLMADIĞINA dikkat edin).

Örneğin, G aşağıdaki grafik (a) ve T dış yüzdeki düğüm olsun. Daha sonra grafik (b), (G, T) 'nin bir mesafe koruyucusudur.

Çeşitli parametrelerle mesafe koruyucusunun bulunduğu bilinmektedir. Özellikle aşağıdaki özelliklere sahip olanla ilgileniyorum:

1. G düzlemsel ve ağırlıksızdır (yani, G'nin tüm kenarlarının ağırlığı birdir),
2. T'nin boyutu $O(n^{0.5})$ ve
3. H'nin boyutu (düğüm ve kenar sayısı) $o(n)$ . ( O ( n varsa) iyi olurdu$O(\frac{n}{\log\log n})$.)

Böyle bir mesafe koruyucu var mı?

Yukarıdaki özellikler karşılanamazsa, her türlü rahatlama memnuniyetle karşılanır.

Referanslar:

• Seyrek Kaynak ve İkili Mesafe Koruyucular , Don Coppersmith ve Michael Elkin, SIDMA, 2006.
• Seyrek Mesafe Koruyucular ve Katkı Anahtarları , Béla Bollobás, Don Coppersmith ve Michael Elkin, SIDMA, 2005.
• Alt doğrusal uzaklık hataları olan somun anahtarları ve emülatörler , Mikkel Thorup ve Uri Zwick, SODA, 2006.
• Katkı Anahtarları, Emülatörler ve Daha Fazlası için Alt Sınırlar , David P. Woodruff, FOCS, 2006.

Mesafe koruyucusu, emülatör olarak da bilinir ; H ile G'nin bir alt çizgisi olmasını gerektiren anahtar terimi aranarak internette ilgili birçok çalışma bulunabilir . Fakat uygulamalarımda, H, G'deki T arasındaki mesafeyi koruduğu sürece başka grafikler de kullanabiliriz.

Yıllar sonra, OP nihayetinde kendi sorusuna cevap vermiş gibi görünüyor: Hsien-Chih Chang, Paweł Gawrychowski, Shay Mozes ve Oren Weimann'ın Planar Grafikler için Optimum Mesafe Emülatörü , az önce arxiv'e gönderildi.

$\widetilde{O}(\min\{t^2, \sqrt{tn}\})$$|T| =: t$$\widetilde{O}(n^{3/4})$$\widetilde{O}(n)$

(Daha az resmi bir notta, bu sonucu gerçekten şaşırtıcı buluyorum. Tebrikler!)

Klein'in 1 + epsilon faktörüne kadar olan mesafeleri koruyan düzlemsel alt küme anahtarına bakmak isteyebilirsiniz.

TSP Alt Kümesine Başvuru ile Düzlemsel Grafikler için Alt Küme Anahtarı http://doi.acm.org/10.1145/1132516.1132620