Sıra ve yaklaşık sıra arasındaki en büyük boşluk nedir?

Bir 0-1 matrisinin sıra logunun deterministik iletişim karmaşıklığının alt sınırı olduğunu ve yaklaşık sıra logunun rasgele iletişim karmaşıklığının alt sınırı olduğunu biliyoruz. Deterministik iletişim karmaşıklığı ile randomize iletişim karmaşıklığı arasındaki en büyük boşluk üsteldir. Peki, bir boole matrisinin sıralaması ve yaklaşık sırası arasındaki boşluk ne olacak?

— pyao
kaynak

bir matrisin "yaklaşık sırası" nedir?

— Suresh Venkat

bir Boole matrisin -approximate seviye gerçek matris en az sıralaması olan farklıdır en az bir girişinde (Buhrman ve Wolf 2001, bakınız, "polinomlarla iletişim karmaşıklığı alt sınır"). Soruyu, bunu açıklamak için (istenen tanım ise) ve rolünü tanımlamak yararlı olacaktır (çünkü sıralamalardaki fark açıkça bağlıdır ).

ϵ

$\epsilon$

M

$M$

A

$A$

M

$M$

ϵ

$\epsilon$

ϵ

$\epsilon$

ϵ

$\epsilon$

— mjqxxxx

Önce biraz bilgi vereceğim ve yaklaşık rütbeyi tanımlayacağım. İyi bir referans, Lee ve Schraibman'ın İletişim Karmaşıklığı Alt Sınırları tarafından yapılan son ankettir .

Tanım: Let bir işaret matrisi olsun. Yaklaşık seviye yaklaşım faktörü , belirtilen , bir $A$ $A$ $\alpha$ $rank^\alpha(A)$

$rank^\alpha(A)=\min_{B:1\leq A[i,j]\cdot B[i,j] \leq \alpha} rank(B)$ .

Tüm tanımlamak $\alpha\to \infty$

$rank^\alpha(A)=\min_{B:1\leq A[i,j]\cdot B[i,j]} rank(B)$ .

İle bir sonuç Krause söylüyor burada ve olduğu üst sınırında hata ile sınırlı hata özel para iletişim karmaşıklığı . $R_\epsilon^{pri}(A)\geq \log rank^\alpha(A)$ $\alpha=1/(1-2\epsilon)$ $R_\epsilon^{pri}$ $A$ $\epsilon$

Yukarıdaki arka plan içindi. Şimdi soruyu cevaplamak için, Paturi ve Simon gösterdi tamamen içinde sınırsız-hata iletişim karmaşıklığı karakterize . Ayrıca bunun, iletişim matrisi olan boole işlevini gerçekleştiren bir düzenlemenin minimum boyutuyla aynı olduğunu gösterdi . Eşitlik fonksiyonunun sınırsız hata iletişim karmaşıklığı . Bunu aklınızda bulundurun. $rank^\infty(A)$ $A$ $A$ $O(1)$

Eşitlik için iletişim matrisi sadece kimliktir, yani diyagonalde sıralı ve sütunlu bir boole matrisidir . Bunu gösterelim . Alon , 'nin logaritmik bir faktöre kadar sıkı olduğunu gösterdi (Krause teoremi ile ). $2^n$ $2^n$ $I_{2^n}$ $rank^2(I_{2^n})=\Omega(n)$ $R_\epsilon^{pri}(EQ)=\Omega(\log n)$

Kimlik matrisinin tam sırası vardır, yani . Böylece, ve için katlanarak büyük ayrımlarımız var . $2^n$ $\alpha=2$ $\alpha\to\infty$

— Marcos Villagra
kaynak

Teşekkürler. ama sorum şu ki, ve için süper uyumlu bir boşluk varsa , burada ancak .

r a n k (A)

$rank(A)$

r a n k^{α} (A)

$rank^{\alpha}(A)$

α > 1

$\alpha>1$

α \neq \infty

$\alpha\neq\infty$

— pyao

aah anlıyorum, ama bu soruda yazılı değil. Bildiğim kadarıyla en büyük boşluk üstel.

— Marcos Villagra

Marcos size ve arasında boşluk gösteren bir referans veriyor . matrisin boyutu olduğunda aşırı süponansiyel bir boşluk nasıl olabilir ?

2^{n} / n

$2^n/n$

r a n k

${rank}$

{r a n k}^{2}

${rank}^2$

2^{n}

$2^n$

— Sasho Nikolov

yerine boşluğu mu demek istediniz ?

Ω (2^{n})

$\Omega(2^n)$

2^{Ω (n)}

$2^{\Omega(n)}$

— Sasho Nikolov

Sasho iyi bir noktaya değiniyor, ne demek "süper-üstel?" İle herhangi bir iletişim sorunu için, matris her zaman .

{0, 1}^{n} \times {0, 1}^{n}

$\{0,1\}^n \times \{0,1\}^n$

— Marcos Villagra