Bir çarpma grubu , bir aile içinde , bir alt grubudur , H ve ⋃ n i = 1 S ı şekilde , H ∩ S i ≠ , ∅ için 1 ≤ i ≤ n . Belirli bir ailenin minimum vuruş setini bulma problemi, tepe örtüsü problemini genelleştirdiği için genel olarak NP zordur. Şimdi sorum şu:
unsurları çift olarak kesiştiğinde isabet seti problemi NP-zor mu kalıyor ?
Ayrıca bu sorunun yaklaşık sertliği (veya izlenebilirliği) ile ilgileniyorum.
Yanıtlar:
Cevap evet - sorun hala NP-Complete. Her set için sahte elemanları oluşturmak e ' i , e " i ve yeni setleri oluşturmak S ' i = S i ∪ { e ' i } ve S " i = S i ∪ { e " i } . Eski sistemin herhangi bir vuruş setinin yeni sistemin bir vuruş seti olduğunu doğrulamak kolaydır. Dahası, sahte elemanlar hariç, her eleman şimdi en az üç set vurur.
Yeni sistemde setlerinin her çifti için Ardından, (onları arama sağlar ve T j , sahte öğe oluşturmak önlemek karışıklığa) x i j ve hem eklemek T i ve T j . Açıkça, ortaya çıkan set sisteminde tüm setler çift olarak kesişir, ancak orijinal optimum vuruş seti hala bu en yeni sistem için optimal vuruş setidir.
Başka bir kısıtlama olmaksızın, sorun orijinal sorun kadar zor görünür.
BTW, gerçekten de en uygun çözümün sahte öğelerin hiçbirini kullanmayacağını kanıtlamak önemsiz değildir. İlk olarak, yeni sistem için belirli bir vuruş setinin herhangi bir veya e ″ i içermediğini varsayabiliriz, aksi takdirde elemanları setlerin orijinal elemanlarına taşıyabilir ve benzer boyutta bir vuruş seti elde edebiliriz. X i j elemanlarının neden optimum vuruş setinde olmadığını görmek biraz daha incedir . Sıkıcı olduğu için bir ipucu bırakacağım: x i j ise orijinal sistemde iki set S i ve S j'yi bağlayan bir grafik oluşturunbu setlerden türetilen iki seti birbirine bağlar. Minimal vuruş setindeki bu grafiğin düzenli olması gerektiğini ve bu nedenle içindeki kenar sayısının, köşe olarak mevcut set sayısını kesinlikle aştığını iddia edin. Bu nedenle, bu setler için daha küçük bir vuruş seti bulunabilir.