Genelleştirilmiş yıldız yüksekliği probleminde ilerleme?

Bir dilin (genelleştirilmiş) yıldız yüksekliği, dili genişletilmiş düzenli bir ifade ile temsil etmek için gereken Kleene yıldızlarının minimum iç içe yerleştirilmesidir. Sonlu alfabe üzerinde genişletilmiş düzenli ifadenin aşağıdakileri karşıladığını hatırlayın : $A$

(1) ve , tüm için genişletilmiş düzenli ifadelerdir $\emptyset, 1$ $a$ $a\in A$

(2) Tüm genişletilmiş düzenli ifadeler için ; , , ve genişletilmiş düzenli ifadelerdir $E,F$
$E\cup F$ $EF$ $E^*$ $E^c$

Genelleştirilmiş yıldız yüksekliği probleminin bir ifadesi, minimum genelleştirilmiş yıldız yüksekliğini hesaplamak için bir algoritma olup olmadığıdır. Bu sorunla ilgili birkaç sorum var.

Bu sorunla ilgili yeni bir ilerleme (veya araştırma ilgisi) oldu mu? Birkaç yıl önce Pin Straubing ve Thérien'in bu alanda bazı makaleler yayınladığını biliyorum.
Kısıtlı yıldız yüksekliği sorunu 1988'de Hashiguchi tarafından çözüldü, ancak genelleştirilmiş versiyon (bildiğim kadarıyla) hala açık. Bunun neden böyle olabileceğine dair herhangi bir sezgi var mı?

Yararlı olabilecek bir bağlantı şudur: starheight

fl.formal-languages lower-bounds regular-expressions

— confusedmath
kaynak

"Genişletilmiş düzenli ifade" nin net bir tanımı veya bir bağlantı yararlı olacaktır.Ayrıca alıntılanan makalelere bağlantılar, sorunun

— çözümüne

@Suresh Sonlu bir alfabe A verildiğinde, genişletilmiş düzenli ifade şu şekilde tanımlanır: her genişletilmiş düzenli ifadelerdir. Ayrıca, birleşme, birleştirme, tamamlayıcı ve yıldız genişletilmiş düzenli ifadelerdir. Temelde sadece tamamlayıcı eklemek. Yararlı olabilecek bir bağlantı şudur: liafa.jussieu.fr/~jep/PDF/StarHeight.pdf

\emptyset, 1, a

$\emptyset, 1, a$

a \in A

$a\in A$

— confusedmath

AFAIK, Pin web sayfasını güncel tutuyor ( liafa.jussieu.fr/~jep/Problemes/starheight.html ).

— Michaël Cadilhac

teşekkürler: soruya dahil etmek daha da iyi olurdu.

— Suresh Venkat

Önceki yorumlarda "liafa.jussieu.fr" yerine "www.liafa.univ-paris-diderot.fr" yazılmalıdır. Sorudaki bağlantıyı düzenledim, ancak yorumlardaki bağlantıları düzenleyemedim.

— J.-E.

Yanıtlar:

İkinci sorunuzla ilgili olarak, genelleştirilmiş yıldız yüksekliği sorununun yıldız yüksekliği sorunundan neden daha az erişilebilir olduğuna dair bir açıklama şöyledir: 1963'teki Eggan'ın seminal gazetesinde , her için (sıradan) yıldız yüksekliği dilleri vardı . Sadece birkaç yıl sonra McNaughton ve bağımsız olarak Déjean ve Schützenberger ikili alfabe örneklerini buldular. Bu, sorunun "ne hakkında" olduğunu açıkça ortaya koydu. Takip eden yıllarda, sıradan yıldız yüksekliği problemi alanında az ya da çok düzenli bir yayın akışı vardı. Bu, giderek artan sayıda yayınlanmış örnekler, karşı örnekler ve bu sorunu çevreleyen olgular verdi. $k$ $k\ge 0$

Buna karşılık, yaklaşık elli yıl sonra, en az iki tane normal yıldız yüksekliği dili olup olmadığını bilmiyoruz. Sonuçta bir karar prosedürüne ihtiyaç olup olmadığını bile bilmiyoruz. Bu "tam örnek eksikliği", bu sorunla başa çıkmanın son derece zor olduğunu göstermektedir.

— Hermann Gruber
kaynak

Gerçek bir algoritmanın keşfinden doğrudan etkilenecek herhangi bir uygulama / alan biliyor musunuz? (diğer bir saf fikri açısından daha az)

— confusedmath

Yıldız yüksekliği dillerinin sınıflandırılmasının son derece zengin bir teori olduğu ortaya çıktı, örneğin bakınız: Robert McNaughton ve Seymour Papert. Sayaçsız Otomata. MIT Press, 1971. Yıldız yüksekliği dillerinin sınıflandırılmasının da birçok sonucu olabilir. Yine de, "Genelleştirilmiş yıldız yüksekliği hiyerarşisinin sonsuz olduğu varsayılarak, kanıtlayabiliriz ..." diye doğrudan bir sonuç bilmiyorum. Ama muhtemelen ben de soracak en iyi kişi değilim.

0

$0$

1

$1$

— Hermann Gruber

İletişim sistemlerindeki bileşenlerin maliyetlerini yaklaştırmaya yönelik bir çalışmada, sınırlı yıldız yüksekliğinin yakında uygulanması muhtemeldir. (referans yok, üzgünüm)

— Denis

Bu cevap, 24 Ekim 2019'da vefat eden Janusz (John) Antoni Brzozowski'nin anısına adanmıştır.

John kesinlikle yıldız yüksekliği problemlerini bu kadar ünlü yapan kişidir. Nitekim, Aralık 1979'da Santa Barbara'da yapılan bir konferansta, normal dillerle ilgili altı açık problemden oluşan bir seçki sundu ve makalesinin sonunda iki konudan bahsetti [1]. Bu altı açık problem, sırasıyla, yıldız yüksekliği, sınırlı yıldız yüksekliği, grup karmaşıklığı, yıldız kaldırma, sayılmayan sınıfların düzenliliği ve önek kodlarının en iyi duruma getirilmesiydi. Diğer iki konu sınırlılık sorunu ve nokta-derinlik hiyerarşisiydi.

Haziran 2015'te, 80. doğum gününün onuruna düzenlenen bir günlük konferans sırasında , bu sorularla ilgili teknolojinin durumunu özetleyen iki anket makalesi sundum [2, 3]. Özellikle, yıldız yüksekliği problemleri hakkında [2] ayrıntılı bilgi bulacaksınız.

[1] JA Brzozowski, Düzenli dillerle ilgili açık problemler , Biçimsel dil teorisi. Perspektifler ve açık problemler, Santa Barbara, California'da düzenlenen sempozyum bildirileri, 10-14 Aralık 1979 [, RV Book (ed.), S. 23–47, New York vb.: Academic Press, Harcourt Brace'ın İştiraki Jovanovich, Yayıncılar. XIII, 454 s., 1980.

[2] J.-É. İğne, 35 yıl sonra normal dillerle ilgili açık problemler , Stavros Konstantinidis; Nelma Moreira; Rogério Reis; Jeffrey Shallit. Bilgisayar Biliminde Teorinin Rolü - Janusz Brzozowski'ye Özgü Denemeler, World Scientific, 2017,

[3] J.-É. Pim, Nokta derinliği hiyerarşisi, 45 yıl sonra . Stavros Konstantinidis; Nelma Moreira; Rogério Reis; Jeffrey Shallit. Bilgisayar Biliminde Teorinin Rolü - Janusz Brzozowski'ye Özgü Denemeler, World Scientific, 2017.

— J.-E. Toplu iğne
kaynak

Bunu paylaştığınız için teşekkür ederim - Cevabınızdan yeni öldüğünü öğrendim.

— Hermann Gruber

Kısıtlı yıldız yüksekliği sorununun çözümü, düzenli maliyet fonksiyonları zengin teorisine (Colcombet tarafından) ilham verdi ve bu da diğer karar verilebilirlik sorunlarının çözülmesine yardımcı oldu ve açık sorunlara saldırmak için yeni araçlar sunuyor. Bu teori hala gelişmekte ve kendi derin sonuçları ve açık problemleri ile sonsuz kelimelere, sonlu ağaçlara, sonsuz ağaçlara kadar genişletilmiştir. İşte olan seminal kağıt teorisinin ve kaynakça Colcombet web sitesinden.

Dolayısıyla, doğrudan genelleştirilmiş bir yıldız yüksekliği uygulaması olmasa da, yıldız yüksekliği gibi görünüşte işe yaramaz sorunlarda ilerlemenin, normal dillerin daha iyi anlaşılması ve farklı sorunlarda yeni sonuçlar vermesi muhtemel olduğunu gösterir.

Referans: Thomas Colcombet. “Sabitleme monoidleri teorisi ve düzenli maliyet fonksiyonları”. İçinde: ICALP 2009

— Denis
kaynak