Sorunları saymak için şaşırtıcı algoritmalar

54

Üstel olarak birçok şeyin sayılmasını içeren (girişin büyüklüğüne bağlı olarak) ve şaşırtıcı polinom-zaman kesin, deterministik algoritmalara sahip bazı sayma problemleri vardır. Örnekler şunları içerir:

Holografik algoritmaların nasıl çalıştığının temelini oluşturan düzlemsel bir grafikte ( FKT algoritması ) mükemmel eşleşmeleri sayar .
Bir grafikte yayılan ağaçları sayma ( Kirchhoff'un matris ağacı teoremi ile ).

Bu örneklerin her ikisinde de önemli bir adım, sayma problemini belirli bir matrisin determinantını hesaplamak için azaltmaktır. Bir belirleyicinin kendisi elbette üssel olarak birçok şeyin toplamıdır, ancak şaşırtıcı bir şekilde polinom zamanında hesaplanabilir.

Sorum şu: do sorunları saymak için bilinen herhangi kesin "şaşırtıcı derecede verimli" ve deterministik algoritmalar vardır değil bir belirleyici hesaplama için azaltmak?

cc.complexity-theory counting-complexity big-picture

— Ashley Montanaro
kaynak

8

BTW, daha birçok sayma problemi determinantı hesaplamak için azalmaktadır. Tamsayı determinantı, #L içeren GapL sınıfı için tamamlanmıştır.

— 5501

11

Aşağıdaki sorunların determinantı hesaplamada azaltıp azaltmadığını bilmiyorum, ancak yine de listeleyeceğim:

1) Bir DAG içindeki yolların sayısının düğümünden düğümüne . Ancak bu şaşırtıcı değil. Bunun belirlenmesi erişilebilir olup NL ve bu nedenle de DET . Sayma versiyonu hakkında hiçbir fikrim yok. $v_0$ $v_f$ $v_f$ $v_0$

2) Sınırlı Ağaç genişliğinde yapılarda MSO-mantığında tanımlanabilecek sorunların çözüm sayısının sayılması. Örneğin , Courcelle, Arnborg ve diğerlerinin eserlerine dayanan kağıda bakınız .

3) işlevine sahipseniz, bu, logaritmik ağaç genişliğinin bolean devresi ile ifade edilebilir; girişleri bu şekilde kuantum devresi oluşturulması ile gönderir için ve klasik ölçüm olasılığını taklit ikinci sicilde uygulamasından sonra bu sonuçları kullanarak . $f:\{0,1\}^{n}\rightarrow \{0,1\}$ $x$ $f(x)=1$ $U_f$ $|x\rangle|0\rangle$ $|x\rangle|f(x)\rangle$ $|1\rangle$ $U_fH^{\otimes n}|0\rangle|0\rangle$

— Mateus de Oliveira Oliveira
kaynak

Teşekkürler - (2) ve (3) numaralı maddeler ilginçtir, fakat bir şekilde aradığım şey değildi; Sınırlı ağaç genişliğindeki problemleri saymak, üzerinde çalıştığınız yapının gerçekte polinom bağlı olduğu özel durumlar gibi görünmektedir. Daha fazla "gerçekten" üstel olarak sayılacak nesnelerin olduğu durumlarla daha fazla ilgileniyordum, ancak bir şekilde sihirli bir şekilde polinom zamanlarında sayılabilirler.

— Ashley Montanaro,

Bu, eğer tek bir kodlama kullanıyorsanız, algoritmanın sadece sayıyı yazmak için üssel zamana ihtiyacı olduğu anlamına gelmez mi? İkili kodlama kullanarak bu sorunun üstesinden gelilmesi mümkün mü, ama bu bana karşı sezgisel geliyor.

— Antonio Valerio Miceli-Barone

2

@ Miceli-Barone, Söyledikleriniz bir sayı çıkaran hemen hemen tüm poli zaman algoritmalarına uygulanır. Belirleyicinin kendisi, en kötü durumda olan unary durumunda oldukça büyük olacaktır.

— Raphael

@Raphael: tamam, bir (0,1)-matrisinin determinantının mutlak değerinin tarafından sınırlandırıldığını görüyorum.

\frac{(n + 1)^{\frac{n + 1}{2}}}{2^{n}}

$\frac{(n + 1)^{\frac{n+1}{2}}}{2^n}$

— Antonio Valerio Miceli-Barone

11

Alexander Barvinok'a bağlı olarak, polinom zamanında kafes noktalarının sayısının rasyonel bir poligonda (boyut sabit olduğunda) sayılması.

— Yoshio Okamoto
kaynak

2

ana teknik nedir?

— Suresh Venkat

2

Kısa bir üreteç işlevi. Aşağıdaki açıklayıcı makale bize daha fazla fikir verecektir. arxiv.org/abs/math/0506466

— Yoshio Okamoto

11

Holant çerçevesinde, düzlemsel grafiklerde kibritler dışında izlenebilir (önemsiz) sebepler içeren birkaç durum vardır.

1) Fibonacci Kapıları

2) Herhangi bir afiniye imza kümesi .

3) Negatif olmayan ağırlıklı # CSP

...birkaç isim.

Ayrıca, BEST Teoremi , algoritmanın bir kısmı belirleyici bir hesaplama kullanmasına rağmen, yönlendirilmiş bir grafikte Euler devre sayısını saymak için polinomlu bir zaman algoritması verir.

— Tyson Williams
kaynak