Geometriden içgörünün, tamamen geometrik olmayan bir şeyi çözmek için yararlı olduğu örnekler

Üç mekansal boyutta bir evrende evrimleşmenin güzel şeylerinden biri, uzaydaki nesnelerle ilgili problem çözme becerileri geliştirmemizdir. Dolayısıyla, örneğin, üç boyutlu bir sayı olarak üçlü bir sayı olarak düşünebiliriz ve bu nedenle sayı üçlüleri hakkında 3-b'deki noktalarla ilgili hesaplama olarak düşünebiliriz, bu daha sonra uzay hakkındaki sezgimizi kullanarak çözülebilir. Bu, geometri tekniklerini kullanarak tamamen geometrik olmayan bir problemi zaman zaman çözmenin mümkün olabileceğini göstermektedir. Bu tür örnekleri bilen var mı?

Tabii ki, 'geometrik' ve 'geometrik olmayan' terimleri burada biraz belirsizdir. Tüm noktaları koordinatlarıyla değiştirirseniz, herhangi bir geometrik sorunun aslında geometrik olmadığını iddia edebilirsiniz. Ancak sezgisel olarak, tanım açıktır. Diyelim ki SoCG'ye bir makale göndermeyi düşünürsek, geometrik bir şey diyoruz.

Birkaç örnek daha:

Sleator, Thurston ve Tarjan, ikili ağaçların dönüşü için daha düşük sınırlar elde etmek için ağaçların çokgen bölümleri ve hiperbolik geometri olarak geometrik gösterimini kullandı . (Ayrıca, dinamik bir ikili arama ağacının tarihinin tetrahedralizasyon olarak temsil edilebileceğine inanıyorum.)

Azaltılması aralığı en az sorgularına az ortak bir atadan bağlı Berkman ve Vishkin için, bir tartışmalı geometrik sorununa ağaçları üzerinde veri yapıları sorunu ile ilgilidir. (ve David makalesi için teşekkürler)

Bir programlama probleminin maksimum ağırlıktan bağımsız eksen-paralel dikdörtgenler kümesine [1] indirgenmesi veya farklı bir programlama probleminin geometrik küme kapağına [2] indirilmesi nitelendirebilir.

En büyük ortak alt problemin maxima katmanlarını bulmasına indirgenmesi iyi bilinmektedir (yani, aslında kimin düşündüğünü aramaya çok tembelim).

[1] (Liane Lewin-Eytan, Joseph Seffi Naor ve Ariel Orda)

[2] Nikhil Bansal, Kirk Pruhs. Çizelgeleme Geometrisi, FOCS 2010.

[daha sonra düzenleme] "Geometrik" bir görüşün şaşırtıcı göründüğü birkaç durum daha ("SoCG'ye gönderme" veya "görselleştirmek için bir şey yapar" standartlarının karşılanmadığı halde):

dağıtık hesaplama için alt sınırlara uygulanan cebirsel topoloji

hesaplanabilirliğin Hausdorff boyutuna dahil edilmesi

gruplar için bir mesafe kavramının tanımlanması, sonra hacim, daha sonra mesafenin bir fonksiyonu olarak hacmin büyümesi, sonra "polinom büyüme"

Elbette öncekinden çok daha iyi bir cevap, en kesin kesimi çözmek için metrik gömme teorisinin kullanılmasıdır. En kesin kesim sorununa çözümde atılan önemli bir adım, genel bir metriğin normal bir alana iyi bir şekilde gömülmesiyle elde edilebileceği anlaşılmasıydı$\ell_1$ .

Bunlar başka bir yerde de belirtildi, ancak sevdiğim bir örnek şudur: kısmi bilgiyle sıralama, bir pozetin sabit bilinmeyen bir lineer uzantısını bulma problemidir, pozu verilen ve bilgi teorisine mümkün olduğunca yakın karşılaştırma sorguları kullanarak alt sınır (bu sadece karşılaştırma sayısı kritik karmaşıklık ölçüsü olduğunda ve bazı karşılaştırmalar ücretsiz olarak verildiğinde sıralamadır). Optimum (sabit bir değere kadar) karşılaştırma stratejilerinin varlığı , bir pozet ile ilişkilendirilmiş özel bir polytope olan sipariş polytope özelliklerini kullanarak Saks ve Kahn tarafından kanıtlanmıştır (Matousek'in Ayrık Geometri kitabındaki Derslerinde harika bir açıklama bulabilirsiniz). İlk polinom zaman algoritması (Kahn ve Kim tarafından) optimal (sabit bir değere kadar) bir karşılaştırma stratejisi hesaplayan yine, sipariş polipopunun özelliklerini ve giriş poziti arasındaki karşılaştırılabilirlik grafiğinin sabit set polipopunu kullandı.

Demaine ve ark.nın göreceli olarak yeni bir makalesi var ve sanatın dinamik optimizasyondaki durumunu ilerletmek için ikili arama ağaçlarının geometrik gösterimini kullanıyor. Burada biraz belirsiz oluyorum çünkü DO varsayımını çözmüyorlar: fakat bazı sınırları güçlendiriyor ve geometrik formülasyondan geliyor gibi görünen bazı yeni bilgiler veriyorlar.

Bunun gibi herhangi bir örnek olduğunu sanmıyorum. Doğrusal programlama, yarı-kesin programlama, karmaşık sayılar, makine öğrenmenin büyük fraksiyonları vb . Hariç . Asıl soru http://www.youtube.com/watch?v=ExWfh6sGyso .

Geçen yıl POPL'de güzel bir makale vardı, EigenCFA: Lambda terimlerini matris olarak temsil eden ve ardından hızlı bir şekilde veri akışı analizi yapmak için GPU'ları kullanan GPU'larla akış analizini hızlandırmak .

Kağıt bunu açıkça göstermedi, ancak temelde yaptıkları şey, ağaçları temsil etmek için vektör uzaylarının kategorik yapısını kullanmaktı. Yani, sıradan küme teorisinde, bir ağaç (sabit yükseklikte) bir kartezyen ürününün yuvalanmış ayrık birliğidir.

Bununla birlikte, vektör uzayları da doğrudan ürünlere ve toplamlara sahiptir, böylece bir ağacı uygun bir vektör uzayının bir öğesi olarak da temsil edebilirsiniz. Dahası, doğrudan ürünler ve doğrudan toplamlar vektör uzayları için çakışır - yani aynı gösterime sahiptir. Bu, paralel uygulamalara kapıyı açar: fiziksel temsiller aynı olduğu için, çok sayıda dallanma ve işaretçi izleme ortadan kaldırılabilir.

Ayrıca, veri akışı analizinin neden kübik zaman olduğunu da açıklıyor: bilgi işlem özvektörleri!

Ağ oluşturmada yönlendiriciler, trafiği sınıflandırmak için TCAM'leri (üçlü içerik adreslenebilir bellekler - başka bir deyişle, umursamayan içerik adreslenebilir bellek) kullanırlar. Bir TCAM'deki girişler genellikle çok boyutlu önek eşleşmesi kurallarıdır: örneğin, (101 *, 11 *, 0 *), ilk başlık alanının 101 ile başladığı ve ikinci başlık alanının 11 ile başladığı herhangi bir paketle eşleşir. Bir paket ilk kuralla eşleşmiyor, ikinciye gidiyor, ve eşleşen bir kural bulunana kadar devam ediyor.

Geometrik yorum, başlık alanlı paketlerdeki kuralların, içindeki hiper düzlemlerle eşleştirilebileceğidir . inci boyut kuralının önceliktir. Bir paket bir çizgidir , ilk boyutları paketin başlıklarına göre tespit edilir, ve inci boyutu değişebilir. Paket eşleştirme daha sonra bir optimizasyon problemidir: Hiper düzlemi (kural), çizgi (paket) ile kesişen maksimum öncelik boyutuna sahip bulmak istiyoruz.$d$ d + 1 R, d + 1 d d + $R^{d+1}$$d+1$$R^{d+1}$$d$$d+1$

İnsanları birbirine bağlamak için, bu yorum belirli bir kural grubunun ne yaptığını anlamak için yararlıdır. Teorisyenler için başka ilginç kullanımlar da var. Gupta ve McKeown'un Paket Sınıflandırması Algoritmalarına göre , geometrik yorumlama, paket sınıflandırma problemi için hızlıca alt ve üst sınırlar oluşturmamızı sağladı. TCAM kural minimizasyonu (semantikayı koruyan en az sayıda kuralı bulmak) üzerine yapılan çalışmaların da geometrik bir yaklaşımdan faydalandığını biliyorum. Orada Bunun için verebilir referansların ton, ama sizin için en yararlı olabilir biri Applegate, vd. Kullanıcısının SODA 2007 kağıt doğrusal resimlerini sıkıştırmak ve minimize erişim kontrol listelerini. Yukarıdaki önek eşleştirme kurallarının daha genel bir değişkeninin en aza indirilmesinin NP-zor olduğunu kanıtlarlar ve problemi çözmek için dikdörtgenlerin güzel resimlerine bağlarlar (yine)!

Hiç kimsenin iki sayı arasındaki en büyük ortak faktörü bulduğu için Öklid Algoritmasını söylemediğine şaşırdım . Bir balta dikdörtgeni çizerek sorunu çözebilir, sonra dikdörtgeni en küçük taraf tarafından oluşturulan kareye bölüp, kalan dikdörtgen için tekrarlayın, kalan dikdörtgeni eşit şekilde bölebilecek bir kare bulana kadar kalan dikdörtgenler için tekrarlamaya devam edin (bkz. Öklid Algoritması sayfasında hareketli gif).

IMO, işlerin nasıl yürüdüğünü anlamaya çalışmanın zarif bir yolu.

Muhtemelen listelenecek çok fazla örnek var, ancak klasik bir örnek (Aigner ve Ziegler tarafından " Kitaptan Kanıt " olarak vurgulanır ), Shannon kapasitesindeki bir sorunu çözmek için geometrik bir temsilin Lovász tarafından kullanılması. İspat 1979'da yayınlanmış ve 1956'dan itibaren açık bir soruyu çözmüş olsa da, bu son teknolojidir.

Hata düzeltme kodlarının kafes, küre doldurma vb. İle ilişkisi (örneğin, Conway ve Sloane kitabı). Yine de ilişki o kadar güçlü ki, net değil, eğer bundan sonra “tamamen geometrik değil” hata düzeltme kodları çağırmam gerekiyorsa ...

LLL veya PSLQ gibi kafes azaltma teknikleri oldukça geometrikdir ve lineer Diophantine yaklaşımı ve tamsayı ilişkisinin tespiti gibi saf sayı teorisinin sorunlarını çözer.

LLL faktörüne bir polinom zaman algoritması (tek değişkenli) polinomları üzerinde temin etmek için kullanılmıştır olan katsayılarına çekilir .$\mathbb{Z}$$\mathbb{Z}$

Gerard Salton , bilgi alma sistemleri için vektörler arasındaki açının kosinüsünü (kosinüs benzerliği) kullanma fikriyle geldi. Bu, frekans - ters belge frekansı terimini hesaplamak için kullanıldı . Bunu günümüz arama motorlarının öncülü olarak görüyorum. Ayrıca bakınız Vektör uzay modeli.

Kolye bölme problemi çok güzel bir örnektir. Onun ifadesi tamamen kombinatoryal şudur: boncuklarla ile açık kolye olduğunu varsayalım farklı renk ve her rengin boncuk sayısı çift. Kolyeler, çeşitli renklerde, parçaların her bir rengin tam olarak yarısına sahip iki kümeye bölünebilecek şekilde kesilmelidir. Sadece kesimleri yapmak her zaman yeterlidir . Bunu ispatlamak için kolyeyi moment eğrisine yerleştirin ve bir çeşit Ham Sandwich Teoremi kullanın (Jiří Matoušek'in "Borsuk-Ulam Teoremini Kullanma" adlı güzel bir kitabına bakın).$k$$k$

Tabii ki, ispat geometrikden daha topolojiktir, fakat düşük boyutta net bir geometrik resme sahiptir. Bildiğim kadarıyla, tamamen birleşimsel kanıt (yani topoloji hakkında bir şey duymayı reddeden bir kişiye açıklayabileceğiniz bir kanıt) yoktur.

Boşluk doldurma eğrilerinin veritabanlarında ve optimizasyondaki rolü: http://people.csail.mit.edu/jaffer/Geometry/MDSFC

Makine öğreniminde destek vektör makinesi muhtemelen nitelendirir.

Doğrusal programlamayı çözmek için hesaplamalı geometri teknikleri vardır. Hesaplamalı geometri: algoritmalar ve uygulamalar bununla ilgili hoş ve basit bir bölüme sahiptir.

Bir fonksiyonun belirli bir integrali , grafiğiyle sınırlanmış bölgenin imzalı alanı olarak gösterilebilir.