Bir ağaç ne kadar büyük bir tencereye ve kenarların yarısına sahip olabilir?

14

G 2n köşelerinde bir ağaç olsun. G, tw (G) = 1 trewidth. Şimdi bir H grafiği elde etmek için G'ye n kenarı eklediğimizi varsayalım. Tw (H) 'de kolay bir üst sınır n + 1' dir.

Bir şekilde tw (H) 'nin O (sqrt (n)) olması gerektiği anlaşılıyor, ancak bu sadece belirsiz bir önsezi. 2n tepe üzerinde bir ağaca n kenar eklenerek elde edilen grafiğin trewthth için O (n) 'den daha iyi üst sınırlar biliyor muyuz?

upper-bounds treewidth

— gphilip
kaynak

18

Modeliniz, keyfi 3-düzenli grafikler sormaktan daha az genel değildir ve 3-düzenli genişletici grafikler doğrusal üçlü genişliğe sahiptir. Bu yüzden sabit faktörleri bilmiyorum, ama Θ (n) mümkün olan en iyisi, evet.

— David Eppstein
kaynak

3

Teşekkürler, bu sorumu cevaplıyor. David'in cevabını biraz detaylandırmak için, H'nin 2n köşelerinde bağlı 3 düzenli bir grafik olmasına izin verin. H daha sonra 3n kenara sahiptir. G, n + 1 kenarlarını H'den çıkararak elde edilen 2n köşelerinde bir ağaç olsun. Bu kenarların n'yi G'ye geri eklemek bize H '= (H eksi bir kenar) verecektir. H \ 'nin treewidth \ theta (n) ile bir genişletici grafik olmasına izin verirsek, H' 'nin treewidth \ theta (n) olduğunu görürüz.

— Ağustos'ta gphilip

8

David'in işaret ettiği gibi, temel olarak ortalama 3 derece ile bağlı bir grafiğin trewidth'inde sınırlar istersiniz. 3 normal grafiğin daha özel bir durumu için aşağıdaki alt ve üst sınırlar elde edilebilir. Pw (G) ile bir G grafiğinin yol genişliğini ifade ederek,

(1) Herhangi bir G grafiği için tw (G) <= pw (G) (yol ayrışması bir ağaç ayrışması olduğu için)

[1] 'de kanıtlanmıştır

(2) Her \ epsilon> 0 için, n> = n_0 köşelerinde herhangi 3 düzenli grafik G için, pw (G) <= n / 6 + \ epsilon * n olacak şekilde bir n_0 tamsayısı vardır.

Bu, 3-düzenli grafiklerin trewidth üzerinde kabaca n / 6 üst sınırı verir.

Neredeyse kesin bir alt sınır için [2] 'den alıntı yapıyorum:

"Rastgele kübik grafikler neredeyse kesin olarak en azından 0.101 n (Kostochka, Melnikov, 1992) biseksiyon genişliğine sahip olduklarından, n / 20'den küçük boyutta neredeyse hiç ayırıcıları yoktur ve bu nedenle neredeyse hiç n / 20'den küçük genişlikte ağaç ayrışması yoktur .

Biseksiyon genişliğinde "kesin" bir alt sınır için, [3] bu ailede her G = (V, E) grafiğinin en az 0.082 * | V |

[1] Fedor V. Fomin, Kjartan Høie: Kübik grafiklerin yol genişliği ve tam algoritmalar. Enf. Süreç. Lett. 97 (5): 191-196 (2006)

[2] Jaroslav Nesetril, Patrice Ossona de Mendez: Mezuniyet ve sınırlı genişleme sınıfları II. Algoritmik yönler. Avro. J. Comb. 29 (3): 777-791 (2008)

[3] Sergei L. Bezrukov, Robert Elsässer, Burkhard Monien, Robert Preis, Jean-Pierre Tillich: Grafiklerin ikiye bölme genişliğinde yeni spektral alt sınırlar. Theor. Comput. Sci. 320 (2-3): 155-174 (2004)

— Serge Gaspers
kaynak

Teşekkürler, Serge. Yol genişliği yoluyla bağlanma, bu aşamada benim için genişletici grafikler aracılığıyla olandan daha erişilebilirdir; Yine de henüz hiçbir kanıt okumadım.

— Ağustos'ta gphilip