Derecenin 1 nolu polinomunu çarpma

Sorun, polinomu hesaplamaktır . Tüm katsayıların makine kelimesine uygun olduğunu, yani birim zamanda değiştirilebileceğini varsayalım. $(a_1 x + b_1) \times \cdots \times (a_n x + b_n)$

Sen yapabilirsin bir ağaç moda FFT uygulayarak zaman. yapabilir misin ? $O(n \log^2 n)$ $O(n \log n)$

— Mihai
kaynak

Güzel soru, birinin blogunda benzer bir şey gördüm, ama nerede olduğunu hatırlayamıyorum.

— Grigory Yaroslavtsev

Küçük gözlem: Biliyoruz (Q üzerinde çalışıyor, diyor) n kökleri , yani problem eşdeğerdir: Verilen , polinomu hesapla . (Sanırım.)

α_{i} = - b_{i} / a_{i}

$\alpha_i = -b_i/a_i$

α_{1}, \dots, α_{n}

$\alpha_1, \dots , \alpha_n$

(x - α_{1}) \dots (x - α_{n})

$(x-\alpha_1)\dots(x-\alpha_n)$

— ShreevatsaR

sonucuna referans verebilir misiniz ?

O (n \log^{2} n)

$O(n\log^2 n)$

— Muhammed El-Türkistan

@Suresh'in de belirttiği gibi, basit bir böl ve yönet yaklaşımıdır. Genelleştirilebilir, böylece n farklı derecelerde , bu durumda bir Huffman ağacı tarzında bölebilirsiniz. Bkz. Strassen: Sürekli kesirlerin hesap karmaşıklığı.

d_{i}

$d_i$

— Zeyu,

zamanındaki sabit boyutlu 2 vektörlerinin konvolüsyonunu hesaplayabilir miyiz ?

n

$n$

O (n \log n)

$O(n \log n)$

— Kaveh

Uyarı: Bu henüz tam bir cevap değil. Mantıklılık argümanları sizi rahatsız ediyorsa, okumayı bırakın.

Karmaşık sayılarla çarpmak istediğimiz bir değişkeni düşüneceğim (x - a_1) ... (x - a_n).

Sorun, n noktalarındaki bir polinomun değerlendirilmesinde ikilidir. Bu noktaların birliğin kökleri olduğunda O (n log n) zamanında zekice yapılabileceğini biliyoruz. Bu, Hızlı Fourier Dönüşümü'nün altında yatan düzenli poligon simetrilerinin temel avantajlarından yararlanır. Bu dönüşüm, geleneksel olarak zamanın azaltılması ve frekansın azaltılması olarak adlandırılan iki biçimde gelir. İkinci yarıda, çift taraflı düzenli çokgenlerin iki çift simetrisine dayanırlar: birbirine kenetlenen simetri (normal bir altıgen iki birbirine kenetlenmiş eşkenar üçgenden oluşur) ve fanın açıldığı simetri (normal bir altıgen kesilmiş ve fanlar gibi parçaları açabilirsiniz) eşkenar üçgenler içine).

Bu açıdan bakıldığında, özel simetrilere sahip olmayan rastgele bir n noktası kümesi için bir O (n log n) algoritmasının mevcut olacağı konusunda oldukça mantıklı görünmektedir. Bu, karmaşık düzlemdeki rastgele nokta kümeleriyle karşılaştırıldığında normal çokgenler hakkında algoritmik olarak istisnai bir şey olmadığı anlamına gelir.

— Vognsen Başına
kaynak

Öte yandan, böyle bir doğal sorun için bir alt sınırı eşit derecede sakıncalı görünmektedir!

Ω (n \log^{2} n)

$\Omega(n\log^2 n)$

— Jeffε

Doğru! Keşke daha kesin bir cevabım olsaydı. Bu çok ilginç.

— Vognsen Per

Ödül kazandı!

— Jeffε

@PerVognsen: Bu bakış açısına bir referans verebilir misiniz, re: poligon simetrileri / kilitleme simetrisi? Ya da bu kendi gözleminiz ise, biraz daha genişletebilir misiniz?

— Joshua Grochow