Determinantlardan ve matrisin kalıcılığı

Let bir olmak ya da bir matris girdileri ile . Birisi bana bir matrisi sağlayabilir, böylece ? şeklinde bilinen en küçük açık nedir ? Bu konuda açık örneklerle herhangi bir referans var mı? $A$ $3 \times 3$ $4 \times 4$ $a_{ij}$ $B$ $\operatorname{per}(A) = \det(B)$ $B$ $\operatorname{per}(A) = \det(B)$

Bazı kısıtlamalar aşağıdaki durumlar olabilir:

Durum $(1)$ girdisi olarak yalnızca doğrusal fonksiyoneller kullanılabilir . $B$

Durum $(2)$ Her bir terimin en az $O(log(n))$ derecesine (derece değişkenlerin derecesinin toplamı sahip olması koşuluyla doğrusal olmayan fonksiyonellere izin verilir , burada $n$ ilgili matrisin boyutudur. Bizim durumumuzda derece kadar $2$ .

cc.complexity-theory algebraic-complexity permanent

— vs
kaynak

@vs

üzerindeki kısıtlamalar nelerdir

B

$B$ ? Hiçbiri yoksa,

B = (\begin{matrix} per (A) \end{matrix})

$B = \begin{pmatrix} \operatorname{per}(A)\end{pmatrix}$ ,

ile

1 \times 1

$1 \times 1$ matristir , ancak Tahmin ediyorum ki aklınızda olan şey bu değil. Tipik olarak ,

girişleri,

değişkenlerin doğrusal fonksiyonlarının afin olmasına izin verir .

det (B) = per (A)

$\det(B) = \operatorname{per}(A)$

B

$B$

A

$A$

— Tyson Williams

[DÜZENLE]

Tutarlılık için gösterimleri $c(n)$ den $dc(n)$ .
Bu tarafından istendi vs yüksek boyutlara cevabım generalize olmadığını yorumlardaki. Herhangi bir alan üzerinde bir üst sınır yapar ve verir: Bu konudaki taslağımı görün: Kalıcı ve Belirleyici Sorun için Üst Sınır . $d c (n) \leq 2^{n} - 1.$ $dc(n)\le 2^n-1.$

[/DÜZENLE]

[Bir yan yorum: Sanırım yeni bir soru oluşturmak yerine önceki sorunuzu düzenleyebilirsiniz.]

Sizin için aşağıdaki cevabım var:

per (\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix}) = det (\begin{matrix} 0 & a & d & g & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & i & f & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & c & i \\ 0 & 0 & 0 & 1 & c & 0 & f \\ e & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ h & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ b & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})

$\operatorname{per}\begin{pmatrix} a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}= \det\begin{pmatrix} 0 & a & d & g & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & i & f & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & c & i \\ 0 & 0 & 0 & 1 & c & 0 & f \\ e & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ h & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ b & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Açık örnekler hakkında böyle referanslar aradığımı, herhangi bir şey bulamadığımı ve bu nedenle size verdiğim örneğin oluşturduğum bir örnek olduğunu unutmayın.

Sorduğunuz bu soruya genel olarak "Kalıcı ve Determinant sorunu" denir. Diyelim biz verilmiştir matris ve en küçük matris isteyen , öyle ki . bu tür en küçük boyutlarını gösterelim . İşte geçmiş sonuçlar: $(n\times n)$ $A$ $B$ $\operatorname{per} A=\det B$ $dc(n)$ $B$

[Szegö 1913] $dc(n)\ge n+1$
[von zur Gathen 1986] $dc(n)\ge n\sqrt 2-6\sqrt n$
[Cai 1990] $dc(n)\ge n\sqrt 2$
[Mignon & Ressayre 2004] karakteristik içinde 2/2 $dc(n)\ge n^2/2$ $0$
[Cai, Chen ve Li 2008] , karakteristik . $dc(n)\ge n^2/2$ $\neq 2$

Bu (üst sınırın yukarıda verilen matristir) olduğunu gösterir. $5\le dc(3)\le 7$

Tembel olduğum için, size sadece diğerini bulabileceğiniz bir referans veriyorum. Cai, Chen ve Li tarafından alıntıladığım en son makale: Herhangi bir karakteristik üzerinde kalıcı ve belirleyici sorun için ikinci dereceden bir alt sınır $\neq 2$ .

Fransızca okursanız, bu konudaki slaytlarıma da bakabilirsiniz: Kalıcı ve Déterminant .

— Bruno
kaynak

Çok teşekkür ederim. Doğrusal ve karesel alt sınırlara aşina olduğumu belirtmeyi unuttum. Örneğiniz benim için yeni ve tabii ki Fransız Slaytlarınıza bakacağım :)

— vs

Bir formülü belirleyiciye dönüştürmek için, 1979'da Valiant'ın (klasik?) Bir sonuçtur. Bu sonucu Bölüm 2.1'deki makalemizde açıklıyoruz (cf [ arxiv.org/abs/1007.3804] ).

— Bruno

İçin , not O sürekli bir (n2 ^ n), böylece 24 doğru bir değer değildir olduğu. Yine de örneğimin Ryser formülünü + Valiant'ın yapısını uygulamaktan daha iyi olduğunu düşünüyorum. Kalıcıdan bir formüle ve sonra bir belirleyiciye geri dönmenin en iyi yol olmadığını hayal edebileceğiniz için bu oldukça normaldir. Hedefler aynı olmadığından örneğimin "Ryser'dan daha iyi" olduğunu söyleyemem. Ayrıca Glynn's veya Ryser formüllerinin için önemsiz formül kadar iyi olmadığını, sadece asemptolojik olarak dövdüklerini unutmayın .

n = 3

$n=3$

n = 3

$n=3$

— Bruno

JY Cai'nin gazetesine yeniden baktım. Teorem 3 daha iyi bir bağ sağlar: .

c (n) \leq O (2^{n})

$c(n)\le O(2^n)$

— Bruno

@ Bruno: mükemmel cevap!

— Dai Le