Pushdown otomata kullanarak bağlamsız diller için pompalama lemasının kanıtı

Düzenli diller için pompalama lemma , çalışılan dili tanır sonlu durum Otomaton dikkate devletlerin kendi sayısından daha büyük bir uzunluğa sahip bir dize toplama ve pigeonhole prensibini uygulayarak ispat edilebilir. Pompalama bağlam serbest diller için lemma (biraz daha geneldir yanı sıra Ogden lemma) Ancak, çalışılan dilin bir bağlam-dilbilgisi göz önünde yeterince uzun dize toplama ve ayrıştırma ağaca bakarak kanıtlanmıştır.

İki pompalama lemasının benzerliği göz önüne alındığında, bağlamsız olanın, dilbilgisi yerine dili tanıyan bir itme otomatı düşünülerek normal olana benzer şekilde kanıtlanmasını beklersiniz. Ancak böyle bir kanıtı referans olarak bulabildim.

Dolayısıyla benim sorum: sadece pushma otomatalarını içeren ve gramerleri olmayan bağlamsız diller için pompalama lemasının bir kanıtı var mı?

Bu problemi tekrar düşündüm ve sanırım tam bir kanıtım var. Beklediğimden biraz daha zor. Yorumlarınızı bekliyoruz! Güncelleme: Birisi için yararlı olması durumunda, bu kanıtı arXiv'e gönderdim: http://arxiv.org/abs/1207.2819

$\DeclareMathOperator{\fp}{fp}$ $\DeclareMathOperator{\lp}{lp}$ $\newcommand{\fpp}[1]{\widehat{\fp{#1}}}$ $\newcommand{\lpp}[1]{\widehat{\lp{#1}}}$

Let bir alfabe üzerinde bir bağlam-dili . yığın alfabesi ile tanıyan bir pushma otomatı olsun . Biz tarafından ifade eyaletlerinin sayısı . Genelliği kaybetmeksizin, geçişlerinin yığının en üstündeki sembolü patladığını ve yığının üzerinde hiçbir sembol itmediğini ya da yığının üzerinde en üstteki sembolü ve başka bir sembolü itdiğini varsayabiliriz .$L$$\Sigma$$A$$L$$\Gamma$$|A|$$A$$A$

Biz tanımlamakve pompalama uzunluğu ve gösterecektir tüm , öyle ki , formunun bir ayrışmasına sahiptir, öyle ki , ve .p = | A | ( | Γ | + 1 ) p ′ w ∈ L | w | > p w = u v x y z | v x y | ≤ p | v y | ≥ 1 ∀ n ≥ 0 , u v n$p' = |A|^2 |\Gamma|$$p = |A| (|\Gamma|+1)^{p'}$$w \in L$$|w| > p$$w = u v x y z$$|vxy| \leq p$$|vy| \geq 1$$\forall n \geq 0, u v^n x y^n z \in L$

Öyle olsun . için en az uzunluktaki kabul edici bir yol olsun ( geçiş dizisi olarak gösterilir ), uzunluğunu. için tanımlayabiliriz, , kabul yolu üzerindeki konumundaki yığının büyüklüğüdür . Tüm için , biz tanımlar -seviye üzerinde üç endeksten oluşan bir dizi olarak ile , öyle ki:| w | > p π w A | π | 0 ≤ i < | π | s ı ı K > 0 , N tt i , j , k 0 ≤ i < j < k ≤ $w \in L$$|w| > p$$\pi$$w$$A$$|\pi|$$0 \leq i < |\pi|$$s_i$$i$$N > 0$$N$$\pi$$i, j, k$$0 \leq i < j < k \leq p$

1. $s_i = s_k, s_j = s_i + N$
2. hepsi öyle ki, ,i ≤ n ≤ j s i'nin ≤ s n ≤ s $n$$i \leq n \leq j$$s_i \leq s_n \leq s_j$
3. öyle ki hepsi için , .j ≤ n ≤ k s k ≤ s n ≤ s $n$$j \leq n \leq k$$s_k \leq s_n \leq s_k$

(Bunun bir örneği için, aşağıda seviyesini gösteren durum 2'deki resme bakın .)$N$

Bu seviye tanımlayan arasında maksimal olarak şekilde bir sahiptir -seviye. Bu tanım, şu özellik tarafından motive edilir: bir yoldaki üzerindeki yığının büyüklüğü seviyesinden daha büyük olursa, o zaman derinlemesine seviyesinden daha büyük olan semboller asla fırlamaz. Ya: Şimdi iki vaka ayırt edecektir , biz otomat devlet için aynı yapılandırma ve en üstteki biliyoruz ki bu durumda yığınının semboller ilk iki kez karşılaşılan adımlarla yaπ N π N π l l l < p ' L p + 1 π l ≥ p ' v $l$$\pi$$N$$\pi$$N$$\pi$$l$$l$$l < p'$$l$$p+1$$\pi$$l \geq p'$Ve biz inşa edildiği zaman, rastgele sayıda tekrarlanabilir bir istifleme ve istif konum olmalıdır ve .$v$$y$

Durum 1. . Biz yapılandırmaları tanımlamak durumuna ait çift olarak ve bir dizi yığın sembolleri (burada boyutta yığınları daha az bunları doldurma ile temsil edilebilir ile kullandığımız nedenle özel bir boş sembolü ile tanımlanırken ). Tanımı gereği, , küçük olan yapılandırmalar . Bu nedenle, içinde ilk adımda aynı konfigürasyon iki farklı konumlarda iki kez karşılaşıldığında, ki . İle belirt A A l l l | Γ | + 1 $l < p'$$A$$A$$l$$l$$l$$|\Gamma| + 1$$p$ p p + 1 π i < j i j w ı j π i ≤ j ağırlık = u v X -Y Z y z = ε u = $|A| (|\Gamma| + 1)^l$$p$$p+1$$\pi$$i < j$$\widehat{i}$ (resp. ) (resp. ) adımında okunan son harfinin konumu . Biz var . Bu nedenle, ile , , , . (By biz mektupları göstermek dan için her şeyi kapsayan üzerindendir.) Yapımı ile, .$\widehat{j}$$w$$i$$j$$\pi$$\widehat{i} \leq \widehat{j}$$w = u v x y z$$y z = \epsilon$ v= W i ⋯ j X= W j ⋯ | w | w x ⋯ y wxy | vxy | ≤$u = w_{0 \cdots \widehat{i}}$$v = w_{\widehat{i} \cdots \widehat{j}}$$x = w_{\widehat{j} \cdots |w|}$$w_{x \cdots y}$$w$$x$$y$$|vxy| \leq p$

Ayrıca, olduğunu göstermeliyiz , ancak bu yukarıdaki gözlemimizden kaynaklanır: den daha derine istiflenmiş semboller , asla ayırt yol yoktur. tanımımıza göre eşit olan ve için kabul edici bir yol olan ve , arasındaki adımları tekrarlayarak den yapılan yapılandırmalar oluşturulur .l u v n x w i j $\forall n \geq 0, u v^n x y^n z = u v^n x \in L$$l$$u v^n x$$w$$i$$j$$n$

Sonunda, biz de var , çünkü eğer , o zaman, adım aynı konfigürasyona sahip olduğundan ve içinde , asgariliği ile çelişen, için kabul edici bir yol olacaktır .v = ϵ i j π π ′ = π 0 ⋯ i π j ⋯ | π | w $|v| > 0$$v = \epsilon$$i$$j$$\pi$$\pi' = \pi_{0 \cdots i} \pi_{j \cdots |\pi|}$$w$$\pi$

(Not Bu durumda üstteki hardcoding düzenli diller için pompalama lemma uygulayarak yaratmak anlamına geldiği çünkü yeterli otomat devlet içinde yığın sembolleri sağlamak için küçük yeterlidir bu olarak durumların sayısından daha büyüktür Temel numara, -transitions için ayarlamamız gerektiğidir.)l | w | $l$$l$$|w|$$\epsilon$

Durum 2. . Let bir olmak -düzeyi. , yığın boyutuna göre , son push ve ilk pop . Tanım olarak, ve . İşte bu inşaatın bir örneği. Çizimi basitleştirmek için, yol konumları ile daha sonra yapmak zorunda kalacağımız sözcük konumları arasındaki farkı göz ardı ediyorum. i , j , k p ′ h s i ≤ h ≤ s j lp ( s ) = maks ( { y ≤ j | s y = s } $l \geq p'$$i, j, k$$p'$$h$$s_i \leq h \leq s_j$ $\lp(h) = \max(\{y \leq j | s_y = h\})$ i ≤ lp ( h ) ≤ j j ≤ fp ( h ) ≤ $\fp(h) = \min(\{y \geq j | s_y = h\})$$i \leq \lp(h) \leq j$$j \leq \fp(h) \leq k$

yığın boyutunun tam halinin , aşağıdakilerden oluşan üçlü olduğunu söylüyoruz :$h$

1. konumundaki otomat durumu$\lp(h)$
2. konumundaki en üstteki yığın simgesi$\lp(h)$
3. konumundaki otomat durumu$\fp(h)$

Var olası tam durumları ve arasında yığın ölçüleri ve , yani, pidgeonhole prensibine göre, orada bulunan iki yığın ölçüleri ile gibi tam durumları bu en ve aynıdır. Durum 1 de olduğu gibi, biz ile tanımlamak , , ve son harflerinin pozisyonları olarak karşılık gelen konumlarda oku . faktörünü buradap ' + 1 s i'nin s j g , h s i ≤ g < h ≤ s j g h g ) h = ağırlık ^ lp ( g ) ⋯ ^ lp ( h ) X = $p'$$p' + 1$$s_i$$s_j$$g, h$$s_i \leq g < h \leq s_j$$g$$h$ ^ lp ( H) ^ FP ( h) ^ FP ( g)Wttağırlık=uvxyzu=w0⋯ ^ lp $\lpp(g)$$\lpp(h)$$\fpp(h)$$\fpp(g)$$w$$\pi$$w = u v x y z$$u = w_{0 \cdots \lpp(g)}$, , , ve .$v = w_{\lpp(g) \cdots \lpp(h)}$y=w ^ fp ( h)⋯ ^ fp ( g)z=w ^ fp ( g)⋯| w$x = w_{\lpp(h) \cdots \fpp(h)}$$y = w_{\fpp(h) \cdots \fpp(g)}$$z = w_{\fpp(g) \cdots |w|}$

Bu faktörlendirme, (çünkü seviyeler tanımımıza göre ).k ≤ $|vxy| \leq p$$k \leq p$

Ayrıca de . Bunu yapmak için, her tekrarladığımızda , aynı durumdan ve aynı yığın tepesinden başladığımızı ve yığıntaki mevcut konumumuzun altına düşmediğimizi gözlemleyin (aksi halde, mevcut konumdayken tekrar zorlamak zorundayız, ihlal nin maksimalliği , böylece aynı yolu izleyebiliriz ve aynı sembol sırasını yığına iteriz. nin maksimalliği ve , okurken, mevcut konumumuzun altına düşmeyiz, bu nedenle otomatta izlenen yolun sayısı ne olursa olsun aynıdır tekrarladığımız zamanlar$\forall n \geq 0, u v^n x y^n z \in L$lp ( g ) bir lp ( H ) FP ( h ) X hacim ağırlık hacim hacim hacim FP ( g ) bir u v , n x Y , n z $v$$\lp(g)$$A$$\lp(h)$$\fp(h)$$x$$v$. Şimdi, tekrarladığımız kadar tekrarı yaparsak, aynı durumdan başladığımız için, aynı sembol dizisini yığında aynı ilerle tekrarladığımızdan beri, sahip olduklarından daha fazla pop yapmadığımızdan beri istiflendiğinde , aynı yolu izleyebilir ve aynı sembol dizisini yığından açabiliriz . Bu nedenle, kabul yolu için kabul yolundan oluşturulabilir .$w$$v$$v$$v$$\fp(g)$$A$$u v^n x y^n z$$w$

Sonunda, biz de var , çünkü 1 örneğinde olduğu gibi, ve , ve kaldırarak için daha kısa bir kabul yolu .v = ϵ y = ϵ w π $|vy| > 1$$v = \epsilon$$y = \epsilon$$w$ π fp ( h ) ⋯ fp ( g $\pi_{\lp(g)\cdots\lp(h)}$$\pi_{\fp(h)\cdots\fp(g)}$

Bu nedenle, her iki durumda da yeterli bir faktörleşmeye sahibiz ve sonuç kanıtlandı.

(Kredi, bu kanıtla ilgili bana yardım ettiği için Marc Jeanmougin'e gider.)

Evet mümkün. Yüzey yapılandırmaları kavramını kullanabiliriz; uzun zaman önce Cook tarafından tanıtıldılar. Bununla birlikte, dışarı çıkmakta olan bir pompanın versiyonunu çıkarmak oldukça kolay olmalı.

Yüzey yapılandırmalarına gelince, LogCFL'deki hemen hemen tüm kağıtlar tanımını taşımalıdır. İşte yeni bir makale ve burada bir tez

Belki daha enerjik biri detayları heceleyebilir!

Bütünlüğü sağlamak için bu yöndeki bir ispatı referans alın.

A.Ehrenfeucht, HJHoogeboom, G.Rozenberg: Koordineli çift sistemleri. I: Dyck kelimeleri ve klasik pompalama RAIRO, Inf. Teo. Baş. 20, 405-424 (1986)

Özet. Koordine edilmiş bir çift sistem kavramı [...], aşağı itilen bir otomat kavramına çok yakındır (başka bir formülasyondur). Bu yazıda [...] cp sistemlerinde yapılan hesaplamaları analiz ederek bağlamsız dillerin pompalama özelliklerini elde etme olasılığını araştırıyoruz. Bunu yapmak için Dyck kelimelerinin birleştirici yapısını analiz ediyoruz. Araştırdığımız Dyck kelimelerinin özellikleri, cp sistemlerindeki hesaplamaların birleştirici analizinden kaynaklanmaktadır. Bu yazışmaların klasik pompalama lemasını kanıtlamak için nasıl kullanılabileceğini gösteriyoruz.

Bu sorunu Géraud Sénizergues ile tartışırken, bu makaleyi Sakarovitch'in bu sonucu çoktan ispatladığını belirtti. Kanıt , Ogden tarafından bu yazıya dayanıyor gibi görünüyor .

Referanslar:

• Sakarovitch, Jacques. Surge vecile détération des langages algébriques déterministes şirketi. (Fransızca. İngilizce özeti). Matematik. Sistem Teorisi 14 (1981), no. 3, 247-288.
• William F. Ogden. 1969. Yığın dilleri için birleştirme teoremleri. Bilişim Teorisi üzerine yapılan ilk yıllık ACM sempozyumu Bildirilerinde (STOC '69).