AC0 fonksiyonları için formül büyüklüğü alt sınırları

Soru:

En iyi bilinen formül boyutu AC içinde müstehcen fonksiyon için bağlı düşük değerler nedir ⁰ ? alt sınırına sahip belirgin bir işlev var mı ? $\Omega(n^2)$

Arka fon:

Çoğu alt sınır gibi, formül büyüklüğündeki düşük sınırların elde edilmesi zordur. {#, VEYA, DEĞİL} standart evrensel geçit setine göre daha düşük sınır formüllerle ilgileniyorum.

Bu geçit kümesi üzerinde açık bir işlev için alt sınır olarak bilinen en iyi formül boyutu , Andreev tarafından tanımlanan bir işlev için . Bu sınır Håstad tarafından gösterildi ve Andreev'in alt sınırını iyileştirdi . Bir başka açık alt sınır, parite işlevi için Khrapchenko'nun alt sınırıdır . $\Omega(n^{3-o(1)})$ $\Omega(n^{2.5-o(1)})$ $\Omega(n^2)$

Ancak, bu iki işlev AC ^0'da değildir . AC ^0'da karesel (veya daha iyi) bir alt sınırla açık bir işlev biliyor muyuz merak ediyorum . Farkında olduğum en iyi sınır , Nechiporuk tarafından gösterildiği gibi, Element Ayrımı işlevi için alt sınırıdır. Öğe farklılığı işlevinin AC ^0'da olduğunu unutmayın; bu nedenle , , tercihen daha iyi bir açık AC ⁰ işlevi için alt sınır arıyorum. . $\Omega(n^2/\log n)$ $\Omega(n^2/\log n)$ $\Omega(n^2)$

Daha fazla okuma:

Konuyla ilgili mükemmel bir kaynak Stasys Jukna'nın "Boole İşlev Karmaşıklığı: İlerlemeler ve Sınırlar" dır. Kitabın bir taslağını web sitesinde ücretsiz olarak bulabilirsiniz.

— Robin Kothari
kaynak

İçin superlinear lowerbounds eksikliği nedeni Can

fonksiyonları için kendi kendine azalt çeşit

fonksiyonları? yani biz varsa

LOWERBOUND (burada

o zaman superpoly LOWERBOUND olsun derinliğine bağlı değildir).

A C^{0}

$AC^0$

A C^{0}

$AC^0$

n^{1 + ϵ}

$n^{1+\epsilon}$

ϵ

$\epsilon$

— Kaveh

@Kaveh: Anladığımdan emin değilim.

(eleman farklılığı) fonksiyonu için zaten bir

alt sınırımız var .

Ω (n^{2} / \log n)

$\Omega(n^2/\log n)$

A C^{0}

$AC^0$

— Robin Kothari

Maalesef, superlinear'ı super-quadratic ile değiştirin. Ben Allender-Koucky sonucu benzer ortalama şey

için üs daha büyük olabilir. Bulmak zor olmasının nedeni Böyle bir sonuç açıklayabilir

için lowerbounds

fonksiyonları.

T C^{0}

$TC^0$

A C^{0}

$AC^0$

A C^{0}

$AC^0$

A C^{0}

$AC^0$

— Kaveh

Turing

indirimleri altında

için tamamlanmış herhangi bir sorunun kesinlikle kendiliğinden azaltılabilir gibi gözüküyor, ancak bu kendiliğinden küçültmenin boyutu polinom olarak büyük olabileceğinden umduğum gibi görünmüyor.

A C^{0}

$AC^0$

N C^{0}

$NC^0$

— Kaveh

Yanıtlar:

Güzel bir soru! Khrapchenko kesinlikle fonksiyonları için ikinci dereceden alt sınırlar veremez . Alt sınırı aslında en az bir ortalama hassasiyet karesidir. Ve tüm fonksiyonlar poli-logaritmik ortalama duyarlılığa sahiptir. Subbotovskaya-Andreev de görünüşte böyle bir işlev veremez, çünkü kullandıkları argüman (rastgele kısıtlama çok daha küçük formüllerle sonuçlanır) tam olarak büyük devre büyüklüğünü zorlama nedenidir ; Hastad'ın Anahtarlama Lemması (tam olarak emin değilim, sadece bir sezgi). Tek umut Nechiporuk'tur. Ancak argümanı den fazla veremez. $AC^0$ $AC^0$ $AC^0$ $n^2/\log n$ , bilgi teorik nedenlerle. Yani, bu her şey olabilir kuadratik (hatta küçük) boyutu formülleri vardır? Buna inanmıyorum ama çabucak bir karşı örnek bulamadım. $AC^0$

Aslında, Allender-Koucky fenomeni başka bağlamda da ortaya çıkar - grafik karmaşıklığında. Ki bir devresi değişkenleri temsil iki parçalı bir grafik köşeler üzerindeki , her giriş vektörü için ise tam olarak iki 1s ile, diyelim ki, pozisyonlar ve ( , ) devre kabul iFF köşe ve $2n$ $n\times n$ $G$ $V=\{1,\ldots,2n\}$ $a$ $i$ $j$ $i\leq n$ $j>n$ $a$ $i$ $j$ de bitişiktir . Sorun: Açık bir grafiktir sergileyen en az gerektiren kapıları bir tarafından temsil edilecek monoton -Devre. En grafikleri yaklaşık gerektirdiklerinden (masum bir soru gibi görünüyor kapısı. Ancak bu tür bir grafiktir bize bir Boole fonksiyonu verecek gerektiren değişken olmayan monoton superlinear boyutu log-derinliği devreler (sonuçlarıyla Valiant). Bu nedenle, daha ispat bir sorun olabilir derinliği 3 devreler için sınırları daha düşük. $G$ $G$ $n^{\epsilon}$ $\Sigma_3$ $n^{1/2}$ $2m=2\log n$ $n^{\epsilon}$

— Stasys
kaynak

Cstheory'e hoş geldiniz. :) (btw, yeni kitabınız oldukça ilginç görünüyor, ne yazık ki anadili İngilizce değilim, bu yüzden prova okumaya yardımcı olamıyorum.)

— Kaveh

Aslında, içerik / referanslar ve benzeri şeyler hakkındaki yorumlar / eleştiriler de bu noktada çok önemlidir. Geçerli sürüm burada . Kullanıcı: arkadaş Şifre: catchthecat

— Stasys

Teşekkür ederim :) Önermeli kanıt karmaşıklığı ile ilgili son bölümleri okuyacağım.

— Kaveh

Cevabınız için çok teşekkürler! Eğer bir fonksiyonun düşünüyorum yoksa

Eğer varsayım bir gerektirdiğini

büyüklüğünde formülü, bilmek ilgi olacak.

A C^{0}

$AC^0$

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

— Robin Kothari,

Kanıt karmaşıklığı ile ilgili bölümlere bakmak istediğiniz için teşekkürler, Kaveh!

Robin'in sorusu ile ilgili olarak, ilk önce , herhangi bir sabit için büyüklüğünde formül (ve hatta devreler) gerektiren işlevleri içerir . Bunun anlamı, basit bir gerçeğe göre, sürekli uzun monomları olan tüm DNF'leri içermesidir. Bu nedenle, en azından aşağıdakileri içerir herhangi biri için ayrı fonksiyonlara, . Öte yandan, yaklaşık en fazla olması boyutu formüllerle hesaplanabilir fonksiyonlar $AC^0$ $n^k$ $k$ $AC^0$ $AC^0$ $\exp(n^k)$ $k$ $\exp(t\log n)$ $t$ .

Ben kısa bir süre alma konusunu ele açık alt sınır (Moskova üniversite) İgor Sergeev ile veya daha büyük. Bir olasılık, Andreev'in yöntemini kullanmak olabilir, ancak Parity yerine başka, kolay hesaplanabilir bir fonksiyona uygulanabilir. Yani, formundaki değişkenlerin bir fonksiyonunu düşünün burada ve bir fonksiyondur. $n^2$ $n$ $F(X)=f(g(X_1),\ldots,g(X_b))$ $b=\log n$ $g$ arasında değişkenleri; , değişkenlerininen karmaşık fonksiyonlarından biridir(sadece varlığıyeterlidir). Fonksiyon olduğunu Biz sadece ihtiyacımız aşağıdaki anlamda "öldürdü" olamaz: hepimiz ama onarırlarsa değişkenleri , o zaman bütün düzeltmek mümkün ama geri kalan değişkenlerin biri olmalı böylece elde edilen subfunction tek bir değişkendir. Sonra Andreev argümanını uygulayarak ve küçülen sabit en azından olduğuna Hastad en sonucunu kullanarak (sadece $AC^0$ $n/b$ $f$ $b$ $f$ $g$ $k$ $X$ $g$ $g$ $2$ $3/2$ Daha önce) Sybbotovskaya ile gösterildiği gibi, düşük giden çıkan yaklaşık olacaktır . Elbette, her fonksiyon biliyoruz olabilir tüm ama düzeltilerek öldürülebilir bazı sabit için, değişkenler . Ama olsun alt bunun içinde müstehcen fonksiyonu bulmak için yeterli olacağını bağlı diyelim ki, bütün sabitleme ama tarafından öldürülen edilemez, $F(X)$ $n^3/k^2$ $AC^0$ $n^{1/d}$ $d\geq 2$ $n^2$ $AC^0$ $n^{1/2}$ değişkenler. Kişi böyle bir işlevi ikiden daha derinlemesine aramalı.

Aslında fonksiyonu yukarıdaki gibi, bir ilgili alt sınır elde edebilirsiniz basit hırslı bağımsız değişken ile, bir Nechiporuk, bir Subbotovskaya ve tesadüfi kısıtlama! Bunun için, sadece "iç işlev" g (Y) önemsiz olması yeterlidir (tüm değişkenlerine bağlıdır ). Ayrıca, sınır sadece De Morgan formülleri için değil, sabit fan kapıları için de geçerlidir. $F(X)$ $n^2/\log n$ $n/b$

Korumalı: bir formül Verilen ile yaprakları, her bir blok içinde seçmek görünen bir değişken küçük bir yaprak olarak kaç kez. Daha sonra kalan tüm değişkenleri karşılık gelen sabitlere ayarlayın, böylece her bir değişkene ya da olumsuzlamasına döner. Elde edilen formül daha sonra orijinal formülden en az kat daha küçük olacaktır . Böylece, en azından $F(X)$ $s$ $X_i$ $g(X_i)$ $n/b$ $s$ $n/b=n/\log n$ formül büyüklüğü , , yani . QED $2^b/\log b=n/\log\log n$ $f$ $s\geq n^{2-o(1)}$

Almak için veya daha, bir rasgele kısıtlamalar altında Subbotovskaya-Hastad küçülen etkisi dahil etmek vardır. Olası bir aday, Hastad'ın derinlik- devrelerinin derinlik den daha güçlü olduğunu göstermek için kullandığı Sipser fonksiyonunun bir versiyonudur . $n^2$ $(d+1)$ $d$

— Stasys
kaynak