Her köşenin benzersiz bir ortak komşusuna sahip olduğu grafiklerin oluşturulması

, derece tepe noktası olmadan köşelerinde basit bir grafik olsun . herhangi iki köşesi için her ikisine bitişik benzersiz bir tepe noktası olduğunu varsayalım . Böyle bir grafiğin düzenli olduğunu kanıtlamak, Kombinasyon Dersi , van Lint ve Wilson'dan bir alıştırmadır .$G$$n$$(n > 3)$$n − 1$$G$

Ancak sorum, verilen kısıtlamaları karşılayan grafiklerin var olup olmadığı. Bir problem çözme seansı sırasında orijinal egzersizi tartışırken, birisi her köşenin çiftinin benzersiz bir ortak komşusuna sahip olduğu ve küresel köşelerin olmadığı bir grafik örneği bulup bulamayacağımızı sordu. Ne somut bir örnek ya da inşaat prosedürü bulamadık ne de hiçbir grafiğin bu özelliklere sahip olmadığına dair bir kanıt sunmadık.

Herhangi bir öneri?

Not: Böyle bir grafiğin düzenli olduğunu kanıtlamak için, oldukça basit olduğu ortaya çıkmaktadır, kaba fikir, her bir çift köşenin komşularını, her bir çift köşenin komşularını, her bir çiftin köşe noktaları aynı dereceye sahiptir ve daha sonra küresel olmayan köşe kısıtlaması yardımıyla bir geçiş argümanı bize grafiğin düzenli olduğunu verir.

"Derece tepe noktası yok " koşulundan kurtulursanız, her iki köşenin tam olarak bir ortak komşusuna sahip olduğu özelliğe sahip grafikler tam olarak dostluk grafikleridir (ortak bir tepe noktasında birbirine yapıştırılmış bir dizi üçgen); bağlantılı makalede açıklandığı gibi, bu Erdős, Rényi ve Sós teoremidir. Fakat açıkçası, bu tür grafiklerin hepsi derece tepe noktasına sahiptir ; tek normal olan bir üçgen. Yani sorunuzun cevabı, hayır, ortak komşu mülkü olan ve derecesi olmayan bir grafik-$n-1$$n-1$ tepe noktasımevcut olmamasıdır.$n-1$