Faktörlü asal ürünleri faktoring tamsayı ürünlerini azaltmak (ortalama olarak)

Sorum, faktoringin sertliğine dayanarak inşa edilebilen çeşitli aday tek yönlü işlevlerin güvenliğinin denkliği hakkında.

Sorununu varsayarsak

FACTORİNGİ: [Verilen $N = PQ$ rastgele asal için bulmak , .] P $P, Q < 2^n$$P$$Q$

Anlaşılmaz olasılık ile polinom zamanda çözülemez, fonksiyon

PRIME-MULT: [ Girdi olarak bit dizisi verildiğinde , iki rasgele ve primerini oluşturmak için bir tohum olarak kullanın (burada , uzunlukları yalnızca uzunluğundan polinom olarak küçüktür ); sonra çıktısını alın .]x P Q P Q x P $x$$x$$P$$Q$$P$$Q$$x$$PQ$

tek yönlü olduğu gösterilebilir.

Başka bir aday tek yönlü işlev

INTEGER-MULT: [ rasgele tamsayıları giriş .] A $A, B < 2^n$$A B$

INTEGER-MULT, PRIME-MULT'a kıyasla tanımlamanın daha kolay olması avantajına sahiptir. (Özellikle PRIME-MULT'da, tohum asal olan üretememe şansının (neyse ki ihmal edilebilir) bir şansı olduğuna dikkat edin .)P , $x$$P, Q$

En az iki farklı yerde (Arora-Barak, Hesaplama Karmaşıklığı, sayfa 177, dipnot 2) ve ( Vadhan'ın Kriptografiye Giriş ders notları ) INTEGER-MULT'un ortalama faktoring sertliği varsayımlarından tek yönlü olduğu belirtilmektedir. Ancak, bu ikisinden hiçbiri bu gerçeğin nedenini veya referansını vermez.

Soru şu:

Anlaşılmaz olasılıkla INTEGER-MULT'u tersine çevirme olasılığı olan PQ'nun polinom zaman faktörünü nasıl azaltabiliriz ?$N = PQ$

İşte olası bir yaklaşım (göreceğimiz gibi işe yaramaz!): verildiğinde , elde etmek için (polinom olarak da olsa) daha uzun rastgele bir tamsayı çarpın . Fikir şu ki, o kadar büyüktür ki, kabaca eşit büyüklükte birçok ana faktöre sahiptir , böylece , ana faktörleri arasında "öne çıkmaz" . Daha sonra , belirli bir aralıkta yaklaşık olarak rastgele bir tamsayı dağılımına sahiptir (örneğin ). Daha sonra aynı aralıktan rastgele tamsayısını seçin .N A ′ A = N A ′ A ′ P , Q P , Q A A [ 0 , 2 n - 1 ] B [ 0 , 2 n - 1 $N = PQ$$N$$A'$$A = NA'$$A'$$P, Q$$P, Q$$A$$A$$[0,2^n-1]$$B$$[0,2^n-1]$

Şimdi tamsayı MULT için bir invertör, verilen eğer bazı olasılık bulmak ile, şekilde , umut bu biridir ya da B ' ihtiva P a olarak faktör ve diğeri Q içerir . Eğer durum buysa, bulabilecegimizin P veya Q bir gcd alarak A ' ile N = P , Q .A ′ , B ′ < 2 n A ′ B ′ = A B A $AB$$A', B' < 2^n$$A'B' = AB$$A'$$B'$$P$$Q$$P$$Q$$A'$$N = PQ$

Sorun inverter küçük faktörler koyarak, örneğin, ana faktörler ayırmak için seçme imkanına sahip olmasıdır içinde A ' ve büyük olanlar B ' , böylece P ve Q, her ikisi de sonunda A ' ya da her ikisi de B ′ .$AB$$A'$$B'$$P$$Q$$A'$$B'$

İşe yarayan başka bir yaklaşım var mı?

Bu gerçekten bir cevap değil, ancak bu tür indirimleri göstermenin zorluğuna biraz ışık tutuyor.

Sorun şu şekilde özetlenebilir: , INTEGER-MULT problemini ihmal edilemez bir olasılıkla çözen bir algoritma olsun . Bu olasılık en azından n - c olsun , bazı sabit c ∈ N için (giriş boyutu n olduğunda ). Bir PPT (olasılıksal polinom-süresi) algoritması var olduğunu kanıtlamak A ' , kullanan A alt rutin olarak ve çözer büyüklüğü FAKTORĠNG sorun bir örneği , n , en azından bir olasılık ile , n - d bir sabit için, d ∈ N .$\mathcal{A}$$n^{-c}$$c \in \mathbb{N}$$n$$\mathcal{A}'$$\mathcal{A}$$n$$n^{-d}$$d \in \mathbb{N}$

Bir algoritma düşünün tamsayı MULT sorunu çözmeyi ve giriş sadece K sahip özel K = p Q R , P ve Q büyüklüğü asal olan n / 4 ve R, boyutta bir asal n / 2 ve aksi takdirde başarısız olur. Ayrıca, giriş bir tamsayıdır ilgili K , yukarıda formunun, bu çıktılar p Q ve R . İlk önce A$\mathcal{A}^*$$N$ $N = PQR$$P$$Q$$n/4$$R$$n/2$$N$$PQ$$R$$\mathcal{A}^*$INTEGER-MULT problemini çözme ihmal edilemez bir olasılığı vardır. Bu amaçla, bu kısmını bulmak için yeterli bu fraksiyon başarısı olasılığını sınırlayan olarak, özel formun -bit tamsayılar A * aşağıdan.$n$$\mathcal{A}^*$

By asal sayı teoremi , boyutudur asal sayısı -bits geçerli:$k$

$2^k / \ln(2^k) - 2^{k-1} / \ln(2^{k-1}) = \Theta(2^k / k)$

Bu nedenle, özel formun bit tamsayılarının oranı:$n$

$\frac{\Theta(2^{n/4} / (n/4))^2 \cdot \Theta(2^{n/2} / (n/2))}{2^{n-1}} = \Theta(n^{-3})$

ki burada göz ardı edilemeyecek olan .$n$

Bu nedenle, tek bir PPT algoritması varlığını kanıtlamak mümkün olmalıdır kullanır, bir * alt rutin olarak ve çözer büyüklüğü FAKTORĠNG sorun bir örneği , n , en azından bir olasılık ile , n - d bir sabit için, d ∈ N .$\mathcal{A}'$$\mathcal{A}^*$$n$$n^{-d}$$d \in \mathbb{N}$

IMHO, bu yana, çok zor bir görev gibi görünüyor sadece (kısmen) özel formun tamsayılar parçalanır ve formun tamsayılar ayrıştırmak için kullanmak için bir yol olarak görünmüyor P Q .$\mathcal{A}^*$$PQ$