Minimum nokta ürün sorguları için veri yapısı

$\mathbb{R}^n$$\langle \cdot, \cdot \rangle$$m$$v_1, v_2, \ldots, v_m$$x \in \mathbb{R}^n$$\min_i \langle x, v_i \rangle$$O(nm)$$n = 2$$O(\log^2 m)$

Gelebileceğim tek şey şudur. Bu hemen bir sonucudur Johnson-Lindenstrauss lemma bunun için her ve bir dağıtım \ mathcal {D} ilgili \ mathbb {R} ^ n doğrusal eşleme vardır \ kolon \ mathbb {R} f ^ n \ için \ mathbb {R} ^ {o (\ günlük m)} (edilebilir değerlendirildi içinde (o n \ günlük m) süresi) bu şekilde \ mathrm {Pr} _ {x \ sim \ mathcal {D}} \ sol [ \ forall i \ quad \ langle x, v_i \ rangle - \ varepsilon (\ | x \ | + \ | v_i \ |) ^ 2 \ leq \ langle f (x), f (v_i) \ rangle \ leq \ langle x , v_i \ rangle + \ varepsilon (\ | x \ | + \ | v_i \ |) ^ 2 \ right] \ geq 1 - \ varepsilon . Böylece, O ((n + m) \ log m) zamanında hesaplayabiliriz$\varepsilon > 0$$\mathcal{D}$$\mathbb{R}^n$$f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^{O(\log m)}$$O(n \log m)$+ m ) $\mathrm{Pr}_{x \sim \mathcal{D}}\left[\forall i \quad \langle x, v_i \rangle - \varepsilon (\|x\| + \|v_i\|)^2 \leq \langle f(x), f(v_i)\rangle \leq \langle x, v_i \rangle + \varepsilon (\|x\| + \|v_i\|)^2 \right] \geq 1 - \varepsilon$$O((n + m) \log m)$bir şey bir anlamda yakındır olduğunu için $\min_i \langle x, v_i \rangle$ için en $x$ 'ler (normlar en azından eğer $\|x\|$ ve $\|v_i\|$ küçüktür).

UPD Eğer bölgeye duyarlı karma kullanıyorsak , yukarıda belirtilen sınır O (n + m) sorgu zamanına biraz keskinleştirilebilir $O(n + m)$. Daha doğrusu, $k := O(\frac{1}{\varepsilon^2})$ bağımsız Gauss vektörleri $r_1, r_2, \ldots, r_k$ . Sonra $\mathbb{R}^n$ ile $\{0,1\}^k$ şu şekilde eşleştiririz : v \ mapsto (\ langle r_1, v \ rangle \ geq 0, \ langle r_2, v \ rangle \ geq 0, \ ldots, \ langle r_k, v \ rangle \ geq 0)$v \mapsto (\langle r_1, v \rangle \geq 0, \langle r_2, v \rangle \geq 0, \ldots, \langle r_k, v \rangle \geq 0)$ . Daha sonra , bu eşlemenin görüntüsünde \ ell_1disitesi hesaplanarak bir toplam hata \ varepsilon içindeki iki vektör arasındaki açıyı tahmin edebiliriz . Böylece, bir ek hata içinde nokta ürünlerini tahmin edebiliriz$\varepsilon$$\ell_1$$\varepsilon \|x\| \|v_i\|$içerisinde $O(\frac{1}{\varepsilon^2})$ zamanlı.

Sorgu vektörünüzün önceden işlenmiş koleksiyonunuzdaki bir vektörle dikey olup olmadığını belirlemek istediğiniz özel durumu düşünün. (Yani, tartışılan vektörlerin negatif olmayan katsayılara sahip olduğu olup olmadığını belirlemek istiyorsunuz .) Bu durum zaten çok ilginç.$\min_i \langle x, v_i \rangle = 0$

Bazı için saatindeki sorguları , önişleme ( polinom dereceleri veya veya bağlı olmamalıdır ). δ > 0 m O ( 1 ) n O ( 1 ) m n $n^{O(1)} m^{1-\delta}$$\delta > 0$$m^{O(1)} n^{O(1)}$$m$$n$$\delta$

"En iyi 2 kısıtlama memnuniyeti ve sonuçları için yeni bir algoritma" makalesinde, böyle bir veri yapısının aslında CNF-SAT'ı bazı için zamanda çözmenize izin verdiğini gözlemledim , burada değişken sayısıdır. Bu, k-SAT'ın sınırsız için esasen zaman gerektirdiği "Güçlü Üstel Zaman Hipotezini" çürütür . α < 1 v 2 n$2^{\alpha v}$$\alpha < 1$$v$$2^n$$k$

Nedenini görmek için önişleme süresinin ile sınırlı olduğunu varsayalım . değişkenleri ve cümleleri olan bir CNF formülü düşünün . Değişken kümesini ve boyutlarında iki ve parçasına . Parçalardaki değişkenlere olası tüm atamaları listeleyin (sırasıyla ve atamalarını alma). Bu kısmi tahsislerine ilişkilendirme bir ile bitlik vektör burada IFF F v n P 1 P 2 v ( 1 - 1 / ( 2 c ) ) v / ( 2 c ) 2 v ( 1 - 1 / ( 2 c ) ) 2 v / ( 2 c ) A i n w i w i [ j ] = 1 $(nm)^c$$F$$v$$n$$P_1$$P_2$$v(1-1/(2c))$$v/(2c)$$2^{v(1-1/(2c))}$$2^{v/(2c)}$$A_i$$n$$w_i$$w_i[j]=1$$j$ fıkrası tarafından . Bu yüzden katlanarak çok sayıda bit vektörü içeren iki listemiz var.$F$$A_i$

Uyarı bu bir vektör olup IFF karşılanabilir olduğunu bir atama ve bir vektör bir atama şekildedirw 1 p 1 ağırlık 2 p 2 ⟨ ağırlık 1 , ağırlık 2 ⟩ = $F$$w_1$$P_1$$w_2$$P_2$$\langle w_1, w_2 \rangle = 0$ .

Şimdi bırakın ve varsayılan veri yapısını kısmındaki tüm vektörlerle . Bu varsayımla zaman alır . bölümündeki atamalardaki tüm vektörlerde sorgu algoritmasını çalıştırın . Varsayımla bu P 2 n 2 v / 2 P 1 2 v ( 1 - 1 / ( 2 c ) ) ⋅ n O ( 1 ) m 1 - δ = n O ( 1 ) 2 v - δ v / ( 2 c ) α = / ( $m=2^{v/(2c)}$$P_2$$n2^{v/2}$$P_1$$2^{v(1-1/(2c))} \cdot n^{O(1)} m^{1-\delta} = n^{O(1)} 2^{v - \delta v/(2c)}$ . yapalım .$\alpha = 1 - \delta/(2c)$

Belki de mevcut tekniklerle verimli ön işleme ve sorgu süresi elde etmek mümkündür. En iyi bilinen CNF-SAT algoritmaları bunu dışlamaz. ( gibi bir şey alırlar .) Ancak hesaplamak için biraz daha güçlüdür - bu kurulumda MAX CNF-SAT'ı çözmek gibi bir şey olacaktır. 2 , n - n / log n, en az i ⟨ x , v ı$n^{O(1)} m^{1-1/(\log \log m)}$$2^{n-n/\log n}$$\min_i \langle x, v_i\rangle$

İşte tam cevap için bir fikir, Chao Xu'nun aldatabileceğinden şüpheleniyorum. İlk olarak Chao'nun işaret ettiği gibi de normalleştirebileceğimizi gözlemleyin . Şimdi h hiper düzlemini x yönüne normal kabul edin . Amaç, bu köprüye en yakın noktayı bulmaktır. Dualite ile, bu, sorgu noktasının "yukarısında" en yakın düzlemi bulmak için hiper düzlem düzenlemesinde bir ışın çekim sorgusuna karşılık gelir. Bu ön işlemden geçirilebildiğinden, ana karmaşıklık nokta konumudur ve bu nedenle sorununuz şimdi hiperplanların düzenlenmesinde nokta konumu yapmanın karmaşıklığına indirgenmiştir. Kesimler kullanarak, bu n d cinsinden O ( log n ) zamanında yapılabilir$x$$h$$x$$O(\log n)$$n^d$ Uzay.