Markov zincirlerini bir döngünün 3 renklendirmesinde hızla karıştırma

Glauber dinamikleri, her adımda rastgele seçilen bir tepe noktasını rastgele bir renkle yeniden renklendirmeye çalıştığı bir grafiğin renklendirmeleri üzerindeki bir Markov zinciridir. 5 döngünün 3 renklendirmesi için karışmaz: 30 3 renklendirme vardır, ancak bunlardan sadece 15'ine tek köşeli yeniden renklendirme adımları ile ulaşılabilir. Daha genel olarak, n = 4 olmadıkça bir n-döngüsünün 3 renklendirmesi için karıştırılmadığı gösterilebilir .

Kempe zinciri veya Wang-Swendsen-Kotecký dinamikleri sadece biraz daha karmaşıktır: her adımda rastgele bir köşe v ve rastgele bir renk c seçer, ancak daha sonra iki renkten (c ve renk v) ve bu renkleri v içeren bileşen içinde değiştirir. Glauber dinamiklerinden farklı olarak, bir döngünün tüm 3 renklerine erişilebildiğini görmek zor değildir.

Wang-Swendsen-Kotecký dinamikleri n-tepe döngüsü çevrim grafiğinin 3 rengi üzerinde hızla karışıyor mu?

Örneğin Molloy (STOC 2002) tarafından elde edilen sonuçların, renk sayısı derecenin en az 1.489 katı (burada gerçek) ve renklendirilecek grafiğin yüksek çevresi (aynı zamanda doğru) olduğu zaman Glauber'in hızla karıştığını biliyorum, ama aynı zamanda derecenin grafiğin boyutunda en az logaritmik olmasını gerektirir (döngü grafikleri için doğru değildir), bu yüzden geçerli görünmüyorlar.

Dana Randall e-posta ile aşağıdaki çözümü aldım, bu yüzden çözüm için herhangi bir kredi ona gitmek gerekir (sanırım şu anlama gelir: bu cevap upvote yok) ve herhangi bir hata büyük olasılıkla benim tarafımdan getirildi.

Dana'nın çözümünün kısa versiyonu: Potansiyel olarak büyük iki renkli bölgelerin yeniden renklendirildiği, tarif ettiğim Markov zincirini kullanmak yerine, iki köşenin renklerini tekrar tekrar kaldırdığımız ve daha sonra geçerli bir renk seçtiğimiz bir "ısı banyosu" kullanın onlar için rastgele boyama. Bu zincir karışırsa diğerinin de yaptığını göstermek zor değildir. Ancak standart bir yol birleştirme argümanı, ısı banyosunun gerçekten karıştığını göstermek için işe yarıyor.

Uzun versiyon buraya eklemek için çok uzun, bu yüzden bunun yerine bir blog yayınına koydum .