DFA boyutunun bir fonksiyonu olarak normal dillerde denklik sınıfı sayısı

Bu soru bir ilişkilidir son soruya tarafından Janoma .

Arka fon

Kısıtlama programlamada, bir düzenli genel kısıtlama $c$ bir alan üzerinde $D$ bir çift $(s, M)$ ile $s$ değişkenlerin tuple (kapsam) ve $M$ alanı üzerinde bir DFA $D$ . Bir atama $\theta$ için $s$ tatmin $c$ ise $M$ dize kabul $\theta(s_1)\theta(s_2)\ldots\theta(s_n)$ .

Aşağıda, $D$ alan adının sabit olduğunu varsayalım . Bir denklik ilişkisi tanımlayın $\sim$ dizeleri kümesi üzerinden $T = D^{|s|}$bu şekilde $a \sim b$ her DFA için ise $M$ , ya $a, b \in L(M)$ ya da $a, b \not\in L(M)$ . Sezgisel olarak, iki dize, hiçbir DFA bunları ayırt edemezse eşdeğerdir. Bu doğruysa, aynı düzenli kısıtlamaları da yerine getirirler .

Biz herhangi bir şekilde DFAS, denklik sınıfları sonra setini kısıtlamak yoksa $T/{\sim}$ sadece bir $T$ kendisini. Wrt denklik sınıfı sayısı ile ilgileniyorum. $\sim$ DFA için izin verdiğimiz durumların $n$ bir fonksiyonu olarak . Açıkça, $n = |D|^{|s|}$(sabitleri yoksay) sonra $|T/{\sim}| = |T|$. (Tabii ki, burada $n$ kendisi $|s|$ bir fonksiyonu olacaktır .)

Sorular

1. En küçük nedir $n$ için $|T/{\sim}| = |T|$?
2. Bunun altında ne olur? Özellikle,
   • öyle bir $n$ var ki $|T/{\sim}| = O(|s|^{|D|})$ ?
   • öyle bir $n$ var ki $|T/{\sim}| = O(|s| \times |D|)$ ?

$|s|^{|D|}$

$k$$\geq k$

Soru 1'in cevabı,

En küçük nedir n için | T / ∼ | = | T | $n$$|T/{\sim}|=|T|$

$n=O(s^{2/5}(\log s)^{3/5})$ .

elde edilen

Robson, JM , Dizeleri küçük otomatlarla ayırmak , Inf. Süreç. Lett. 4, 209-214 (1989) 'da tarif edilmiştir. ZBL0666.68051 .