Sarhoş kuşlar vs sarhoş karıncalar: rastgele iki ve üç boyut arasında yürür

İki boyutlu ızgaradaki rastgele bir yürüyüşün olasılık 1 ile orijine geri döneceği iyi bilinir. Aynı zamanda, ÜÇ boyutlardaki aynı rastgele yürüyüşün, orijine geri dönme oranının kesinlikle 1'den az olma olasılığı olduğu da bilinmektedir .

Sorum şu:

Arasında bir şey var mı? Örneğin, alanımın gerçekte, z yönünde sonsuzluğa kadar sıkılan düzlemin sınırlı bir bölgesi olduğunu varsayalım. (genellikle 2.5 boyutlu olarak adlandırılanlar). İki boyutlu sonuçlar geçerli mi, yoksa üç boyutlu mu?

Bu tartışmalarda ortaya çıktı ve iki boyutlu davrandığını söyleyen bir sezgisel argüman, düzlemin sonlu bölgesinin nihayetinde kaplanacağı için, yürüyüşün tek önemsiz kısmının z yönü boyunca 1 boyutlu ışın olduğu ve bu yüzden geri döndüğü şeklinde oldu. kökeni olacak.

İki ve üç boyutlu durumlar arasında enterpolasyon yapan başka şekiller var mı?

Güncelleme (yorumlardan getirilen ): MO ile ilgili bir soru soruldu - kısa bir özet eğer yürüyüş bile (2 + ϵ) boyutlu ise, belirsiz geri dönüşün farklı bir seriden gevşek bir şekilde geldiğidir. Ancak, yukarıdaki soru IMO'dan biraz farklı çünkü belirli bir geri dönüşü kabul edebilecek başka tür şekiller soruyorum.

Peres ve Lyons'un Ağaçlar ve Ağlardaki Olasılığı, Bölüm 2'de bu konuyu anlatıyor (sayfa 50):

Bu mantıklı bir yolu arasındaki ara boşlukların türü hakkında sormak Z 2 ve Z 3 . Örneğin, kama düşünün$\mathbb{Z}^2$$\mathbb{Z}^3$

$$W_f := \{ (x, y, z) : |z| \leq f(|x|) \}$$

burada f : N → K artan bir fonksiyonudur. Terk kenarlarının sayısı B f ∩ { ( x , y , z ) : | x |  veya  | y | ≤ n } sipariş ait n ( f ( n ) + 1 ) , yani bu Nash Williams kriterine göre,$f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$$W_f \cap \{(x, y, z) : |x| \text{ or } |y| \leq n\}$$n(f(n)+1)$

$$\sum_{n \geq 1}\frac{1}{n(f(n)+1)} = \infty$$

tekrarlama için yeterlidir.

3x3x3 uzayda bir 3-B rastgele yürüyüş (bir rubik küpü gibi), yürüyüş dışarıdan başlarsa orijine geri dönme olasılığından daha az bir olasılık vardır; fakat merkezdeki orijinli 2x2x2'lik bir boşluk, oradaki 3x3x3'lük boşluktur. Öyle görünüyor ki ortada bazı şekiller var, ama çok fazla değil.