Sıralı değişkenlerle tek geçişte doğrusal programlama çözümü

Büyütme: Ben doğrusal programlama problemlerinin bir ailem var tabi , . Unsurları , ve , pozitif tam sayılardır, kesinlikle pozitif. ( de ayrılmaz olmalı, ancak daha sonra endişeleneceğim.)$c' x$$A x\le b$$x\ge0$$A$$b$$c$$c$$x$

Uygulamamda genellikle ve katsayıları , basitleştirilmiş tek geçişli bir algoritmanın her seçimi için en uygun çözümü vereceği şekilde olur : tek geçişli algoritma, öğelerini sırayla seçerek, her birini seçerek belirler , önceden belirlenmiş olan değerleriyle tutarlı olan en büyük değerdir . Tek taraflı dilde, değişken girme sırası sadece ila ve adımdan sonra sona erer . Bu, tam simpleks ile karşılaştırıldığında çok zaman kazandırır.$A$$c$$b$$x_1,\dots,x_n$$x_j$$x_1,\dots,x_{j-1}$$x_1$$x_n$$n$

Bu algoritma sütunları ve elemanları "ucuz" ile "pahalı" arasında sıralandığında çalışır. "Ucuz" değişken, genellikle karşılık gelen elemanının büyük olduğu, genellikle küçük değerlere sahip bir sütunudur : bu elemanı için, kısıtlamasından çok fazla talep olmaksızın çok fazla çıktı alırsınız . Yani algoritma "önce kolay şeyleri yap" der.$A$$c$$A$$c$$x$$b$

Sorum şu: ve hangi özelliği bu basitleştirilmiş algoritmanın tüm için çalıştığını garanti eder ? İlk tahminim, sıfır olmayan öğelerinin her satırda artması gerektiğiydi, ancak bu doğru değil.$A$$c$$b$$A$

Hepsi ile bazı örnekler : , , , . Bütün bunlar için, ardışık algoritma tüm değerleri için (nümerik deneylerle) en uygun çözümü verir . , tüm sütun permütasyonlarının da çalıştığı tek .$c=(1,1,1)$$A_1=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 0\end{pmatrix}$$A_2=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 3 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 2 \end{pmatrix}$$A_3=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$A_4=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$b$$A_3$$A_1$$A_3$$(1,1,3)$daha pahalı görünüyor ve daha pahalı .$(1,3,0)$$(1,1,1)$$(1,0,0)$

Literatürün herhangi bir göstergesine, bunun gibi sorunlara veya herhangi bir öneriye müteşekkirim. Bazı değişkenlerin diğerlerinden "daha ucuz" olduğu ve ilk önce güvenli bir şekilde yapılabileceği başka durumlar da olmalıdır. Yıllar boyunca doğrusal programlama üzerinde yapılan tüm çalışmalarla, benzer bir şey ortaya çıkmış gibi görünüyor, ancak bunu bulamadım.

Muhtemelen bir LP'yi çözdüğü açgözlü bir algoritmanın bilindiği en ünlü örnek, ulaşım sorununun özel durumu içindir. Hoffman ("Basit doğrusal programlarda", Konveksite , Saf Matematik Sempozyumu Bildiriler Kitabı , sayfa 7, sayfa 317-327, 1963), bir (maksimizasyon) ulaşım probleminin maliyet matrisinin Monge özelliğini ($c_{ij} + c_{kl} \geq c_{il} + c_{kj}$ ne zaman $1 \leq i < k \leq n$, $1 \leq j < l \leq n$) daha sonra açıkladığınız gibi açgözlü bir şekilde en uygun çözümü bulabilirsiniz.

Hoffman ayrıca, 1985'ten itibaren, açgözlü bir algoritmanın bir LP'ye en uygun çözümü sunduğu bilinen vakaları tartıştığı bir anket belgesine (" Başarılı açgözlü algoritmalar üzerine ") sahiptir. Yukarıda değinilen kendi çalışmalarının yanı sıra (hakkında "1963'e kadar açgözlü bir algoritmaya duyarlı olduğu bilinen doğrusal programlama sorunlarının çoğu Monge fikrinin özel durumlarıydı"), Edmonds'un bir matroidlerin genelleştirilmesi ve vakanın tartışılması$A$ diğer şeylerin yanı sıra negatif değildir.

Daha yeni sonuçlar olduğunu hayal ediyorum, ancak umarım bu en azından sorunuza kısmen cevap verir ve başka nereye bakacağınıza dair bazı fikirler verir.

Prof Spivey'nin önerisi sayesinde, sonunda en son teknolojinin ne olduğunu düşünüyorum: Ulrich Faigle, Alan J. Hoffman ve Walter Kern, "Negatif Olmayan Kutu Açgözlü Matrislerin Karakterizasyonu", SIAM J. Disc. Matematik. 9 (1996) s. 1-6. Yukarıda tarif ettiğim algoritma herkes için en uygun çözümü veriyorsa, bir matris "açgözlüdür"$b$. Açgözlü algoritma ek koşulla en uygun çözümü verirse bir matris "kutu açgözlü" dür$x\le d$ hepsi için $b$ ve tüm $d\ge0$. Açıkçası kutu açgözlü, açgözlüden daha güçlü bir durumdur.

Daima varsayalım $c_1\ge\dots\ge c_n>0$. Faigle, Hoffman ve Kern bunu kanıtlıyor$A$ kutu sadece ve eğer yoksa $k\times(k+1)$ (herhangi $k$) formun alt matrisi $\begin{pmatrix} r_1 & s_1 & & & \\ r_2 & & s_2 & & \\ \vdots & & & \ddots \\ r_k & & & & s_k \end{pmatrix}$ her biriyle $r_j>0$ ve $\sum_{i:s_i>0} \frac{r_i}{s_i} > 1$. Alt matrislerin çıkarılmasında, satırların rasgele permütasyonlarına izin verilir ancak sütunlara izin verilmez ve satır ve sütunların keyfi alt kümelenmesine izin verilir. Böylece, özellikle,$k=1$, her satırındaki sıfır olmayan öğeler $A$ azalmayan olmalı.

Ne yazık ki, benim problemimde matrislerin kutu açgözlü olmadığı ortaya çıkıyor, ancak yine de açgözlü olduklarına inanıyorum. Örneğin,$A_1$yukarıdaki koşul ihlal edilir ve açgözlü olmasına rağmen bu matris kutu açgözlü değildir. Bildiğim kadarıyla, açgözlü matrisleri tanımlamak için hiçbir sonuç yok.

Bunun gibi bir şey için en kolay örnek, öğelerin kesirli olmasına izin verilen kesirli sırt çantası sorunu olabilir. bu problem (ve lp duali), öğeleri ağırlık başına kâr için sıralayarak, bu sırayla mümkün olan en uzun sekansı seçerek ve son öğeyi kesirli hale getirerek çözülebilir.