Ayrık Fourier dönüşümünü hesaplamanın karmaşıklığı?

Bir tamsayı vektörünün standart ayrık Fourier dönüşümünü hesaplamanın karmaşıklığı (standart tamsayı RAM üzerinde) nedir?$n$

Cooley ve Tukey'e uygun olmayan ^[1] hızlı Fourier dönüşümleri için klasik algoritma genellikle zamanında çalışıyor olarak tanımlanır . Ancak bu algoritmada yürütülen aritmetik işlemlerin çoğu, (çoğu ) irrasyonel olan karmaşık . Birlik kökleri ile başlar , bu nedenle sabit zamanda kesin değerlendirme makul değildir. Aynı sorun, saf -zaman algoritmasıyla da ortaya çıkar (karmaşık birlik köklerinin Vandermonde matrisi ile çarpılması).n n O ( n 2$O(n \log n)$$n$$n$$O(n^2)$

DFT'nin çıktısının tam olarak nasıl temsil edileceği bile açık değildir (herhangi bir yararlı formda). Başka bir deyişle, DFT'lerin hesaplanmasının aslında mümkün olduğu açık değildir!

Bu yüzden sadece ihtiyaç varsayalım her çıkış değeri kesinlik bit. ve bir fonksiyonu olarak ayrık Fourier dönüşümünü hesaplamanın karmaşıklığı nedir ? (Somutluk için, gücü olduğunu varsaymaktan çekinmeyin .)n b n $b$$n$$b$$n$$2$

Yoksa literatürdeki her "FFT" örneği aslında "hızlı sayı-teorik dönüşüm " anlamına mı geliyor? ^[2]

Gauss eliminasyonunun ve Öklid'in en kısa yollarının karmaşıklığıyla ilgili sorularıma bakın .

_{^[1] Gerçekten Gauss-Runge-König-Yates-Stumpf-Danielson-Lánczos-Cooley-Tukey algoritması olarak adlandırılmalıdır.}

_{^[2] Öyleyse, neden çoğu kitap sadece karmaşık sayı algoritmasını açıklıyor?}

Bu cevap, uzun algoritmaların çarpımı için Schönhage ve Strassen tarafından birinci algoritmanın ("Yöntem A") analizinin bir varyantıdır.

uzunluğunda bir FFT hesaplamak istediğimizi varsayalım . Girişinizi tüm değerler 1'den küçük olacak şekilde ölçeklendirin. Önce m -bit sabit nokta aritmetiği ( ikili noktadan sonra m bit) ile hesapladığımızı varsayalım . Let δ = 2 1 / 2 - m az pozisyonu ( "kompleks") birim. Let ω = exp ( 2 π i / K ) .$K = 2^k$$m$$m$$\delta = 2^{1/2 -m}$$\omega = \exp(2\pi i/K)$

1) Bir can hesaplama yaklaşımları öyle ki | ω ′ j - ω j | 0 ( 2 k - 1 ) δ tüm 0 ≤ j ≤ K - 1 için . Bu süre içinde yapılabilir O ( K M ( m ) ) K ( m ) çarpma için gereken süredir m bitlik sayı. (bkz. Knuth Cilt 2, 3. baskı, sayfa 309).$\omega_j'$$|\omega_j' - \omega^j| \le (2k-1)\delta$$0 \le j \le K-1$$O(K M(m))$$M(m)$$m$

Standart tamsayı RAM logaritmik maliyet anlamına geliyorsa, . Standart tamsayı RAM kelime RAM'i ifade ediyorsa, M ( m ) = O ( m ) . (Schönhage ve Strassen, "Yöntem A" da m- bit sayılarının O ( log m ) bit sayılarının m çarpımına çarpımının doğrusal zamanda nasıl azaltılacağını gösterir . Sonuncusu birim maliyetlerle yapılabilir.)$M(m) = O(m \log m)$$M(m) = O(m)$$m$$m$$O(\log m)$

2) Klasik Cooley-Tukey FFT, şeklindeki işlemleri hesaplar . Kullandığımız m bitlik sabit nokta aritmetik, bu Yöneylem haline bir ' = t r u , n C , bir T e ( b ' + ω ' j c ' ) . Bildiğimiz ise b ' ve c ' bir hata kadar £ değerinin , aldığımız bir ' bir hata kadar 2 ε + $a = b + \omega^j c$$m$$a' = truncate(b' + \omega_j' c')$$b'$$c'$$\epsilon$$a'$ .$2\epsilon + 2k\delta$

3) tümevarım kullanma, biz hata ile nihai sonuç almak görmek kolaydır . Sonunda b hassasiyeti elde etmek için m ≥ k + log k + b + O ( 1 ) . $(2^k - 1) \cdot 2k\delta$$b$$m \ge k + \log k + b + O(1)$

4) Böylece son çalışma süresi .$O(K k M(k+b))$

Bu ayrıca kayan nokta sayıları ile de çalışmalıdır: 1) sabit nokta aritmetiği ile hala yapılabilir, 2) kayan nokta sayıları için de geçerlidir.

Sabit nokta aritmetiğinde, bence, daha hızlı bile yapılabilir. İlk önce FFT'nin hesaplamasını Bluestein'in hilesini kullanarak polinomların çoğalmasına indiriyoruz. İstenilen hassasiyeti elde etmek için gereken katsayıların uzunluğu . Daha sonra polinomların çoğalmasını uzun tamsayıların çoğalmasına indiriyoruz. (Katsayıları uzun bir sayıya ekleyin ve sıfır O ( k + b ) uzunluğunda bloklarla ayırın .) Tamsayıların uzunluğu O ( K ( k + b ) ) .$O(k + b)$$O(k+b)$$O(K(k+b))$

Bu tam bir cevap değil, ancak bazı ilgili makalelere işaret edebilir ve ayrıca belirli bir sorunuza literatürden bir cevabı çıkarmanın neden bu kadar kolay olmadığını kısmen açıklayabilirim.

Sormaya başlayayım, neden bu sorunun cevabını bilmek istiyorsunuz? Tipik olarak, kendilerini bu tür bir konuda önemseyen insanlar, pratik bir uygulama için aslında yüksek performanslı bir FFT uygulamakla karşı karşıya kalan kişilerdir. Bu insanlar, bazı idealize edilmiş hesaplama modellerinde asimptotik karmaşıklığa önem vermekte, özel donanım ve yazılım kısıtlamaları altında performansı en üst düzeye çıkarmaktan daha az önemserler. Örneğin , Batı'daki En Hızlı Fourier Dönüşümü'nün geliştiricileri makalelerinde şöyle yazıyor:

En iyi seçim, kayıt sayısı, gecikme ve talimat verimi, önbelleklerin boyutu ve ilişkilendirilebilirliği, işlemci boru hattının yapısı vb.

Bunlar teorisyenlerin genellikle ellerini kandırmak istemedikleri konulardır, ancak gerçek uygulamalarda büyük önem taşırlar. Bir teorisyen, "RAM modelindeki en iyi asimtotik bit karmaşıklığını anladım" diyorsa, uygulayıcı "Bu güzel" diyebilir, ancak bu teorik sonucu amaçları için işe yaramaz bulabilir.

Bunu söyledikten sonra, en iyi seçeneğinizin sayısal analiz literatürüne bakmak olduğunu düşünüyorum. Örneğin, Tasche ve Zeuner , FFT algoritmasının sayısal kararlılığına yakından baktılar . Bu hala tam olarak istediğiniz gibi olmayabilir, çünkü uygulayıcılar arasındaki genel fikir birliği, belirli bir sayısal hassasiyet elde etmek için en iyi pratik yaklaşım, "twiddle faktörleri" adı verilen belirli sayıları yüksek doğrulukta önceden hesaplamaktır . Sadece bir FFT yapıyorsanız , bu en hızlı yaklaşım olmayacaktır çünkü çok sayıda FFT hesaplaması üzerinden bir kerelik ön hesaplamanızın maliyetini amorti edemezsiniz. Yine de, en kötü durum yuvarlama hatasını analiz etmeleri yine de sorunuzla alakalı olmalıdır.