Poligonal engellerle düzlemdeki en kısa yolların hesaplanması

Diyelim ki düzlemde birkaç ayrık basit çokgen ve her poligonun dışında iki nokta ve t verildi . Öklid en kısa yol problemi ile ilgili Öklid kısa yol hesaplamak için s için t herhangi bir çokgen iç kesişmez. Somutluk için, s ve t koordinatlarının ve her çokgen köşesinin koordinatlarının tamsayı olduğunu varsayalım .$s$$t$$s$$t$$s$$t$

Polinom zamanında bu problem çözülebilir mi?

Çoğu hesaplama geometrisi derhal evet derdi, elbette: John Hershberger ve Subhash Suri , zamanında Öklid'in en kısa yollarını hesaplayan bir algoritmayı tanımladı ve bu zamana bağlı cebirsel hesaplama ağacı modelinde optimal. Ne yazık ki, Hershberger ve Suri'nin algoritması (ve önceki ve bu yana neredeyse tüm ilgili algoritmalar) aşağıdaki güçlü anlamda tam olarak gerçek aritmetik gerektiriyor gibi görünüyor .$O(n\log n)$

Tüm iç köşeleri engel köşeleriyse geçerli bir çokgen yol arayın ; Her Öklid en kısa yolu geçerlidir. Herhangi bir geçerli yolun uzunluğu, tam sayıların kareköklerinin toplamıdır. Bu nedenle, iki geçerli yolun uzunluklarının karşılaştırılması, polinom zamanında nasıl yapılacağını bilmediğimiz iki toplam kare kök toplamının karşılaştırılmasını gerektirir .

Dahası, karelerin toplamı probleminin keyfi bir örneğinin eşdeğer bir Öklid en kısa yol problemine indirgenmesi tamamen makul görünüyor.

Öyleyse: Öklid'in en kısa yollarını hesaplamak için bir polinom-zaman algoritması var mı? Yoksa sorun NP-zor mu? Ya da karenin toplamı-sert-toplamı ? Veya başka bir şey?

Birkaç not:

• Bir poligonun içindeki (veya dışındaki) en kısa yollar , standart huni algoritması kullanılarak, en azından poligonun üçgenlenmesi verildiğinde, garip sayısal sorunlar olmadan zamanında hesaplanabilir .$O(n)$

• Uygulamada, kayan nokta aritmetiği, kayan nokta hassasiyetine en kısa yolları hesaplamak için yeterlidir. Ben sadece tam sorunun karmaşıklığıyla ilgileniyorum .

• John Canny ve John Reif , 3 uzayda ilgili sorunun NP zor olduğunu kanıtladı (ahlaki olarak, üssel olarak en az sayıda yol olabileceği için). Joonsoo Choi, Jürgen Sellen ve Chee-Keng Yap bir polinom-zaman yaklaşımı şemasını tanımladı.

• Simon Kahan ve Jack Snoeyink , minimum bağlantı yollarıyla ilgili basit bir çokgenin sorunu için de benzer sorunları ele aldı.

Belki bir şeyleri özlüyorum, ancak tüm engellerin puan olduğu "kolay" durumu göz önüne alırsak, düzlemsel bir grafikteki iki köşe arasındaki en kısa yolu hesaplama problemimiz var, eğer yanlış olmazsam, bilinen kare-kökleri-toplamı olarak zor.

PS. Bir cevap eklemek yerine bir yorum eklemek istedim, ancak nasıl olduğunu bulamıyorum. Bunun için özür dilerim. Yöneticiler lütfen bana bu konuda yardımcı olabilir.