Set kapağının yakınlığı: m = poli (n) olduğunu varsayabilir miyim?

Belirli bir sorunun ayarlanan kapaktaki bir azalma ile yakınlaştırılamayacağını göstermeye çalışıyorum. Küçültmem, bir örneği zemin boyutu kümesine dönüştürüyor $n$ ve $m$ sorunumun belirli bir parametrenin olduğu $r$ büyüklükte $O(n+m)$ . Daha sonra, kapak boyutunun s olduğu bir set kapak örneğinin, en uygun çözümün boyutunun olduğu sorunumun bir örneğine karşılık geldiğini gösterebilirim $2s$ (veya bunun gibi) ve tam tersi. Raz-Safra'yı, sorunumun bir faktöre kadar yaklaşılamaz olduğu sonucuna varması için çağırmak istiyorum. $c \log{r}$ , bir süreliğine $c$ . Eğer varsayabilirim bu iyi olurdu $m$ sabit bir polinom ile sınırlıdır $n$ . Bunu üstlenmenin koşer olup olmadığını bilen var mı? Bu, set kapağı için standart NP sertlik kanıtında kullanılan örnekler ailesi için kesinlikle doğrudur, ancak bunun Raz ve Safra tarafından kullanılan PCP azaltmaları için geçerli olup olmadığından emin değilim.

cc.complexity-theory approximation-hardness set-cover

— Edith Elkind
kaynak

Evet, set-cover örneğindeki set m sayısı eleman sayısında polinomdur.

Bu arada - Set-Cover için son teknoloji sertlik sonuçları şunlardır:

Noga Alon ve Muli Safra ile Raz-Safra / Arora-Sudan PCP'nin daha iyi bir sabit elde etmek için nasıl kullanılacağını gösterdik $c$ sertlik faktöründe $c\log n$ .

http://people.csail.mit.edu/dmoshkov/papers/k-restrictions/k-rest-full.ps
Feige optimum sertlik faktörünün nasıl elde edileceğini gösterdi $(1-\epsilon)\ln n$ varsayarsak $NP\not\subseteq DTIME(n^{\log\log n})$ .

http://www.cs.duke.edu/courses/spring07/cps296.2/papers/p634-feige.pdf
Kısa bir süre önce Feige'in azalmasını NP sertlik sonucuna (yani, $P\neq NP$ ), PCP'ler hakkında akla yatkın bir varsayım varsayarsak ("Projeksiyon Oyunları Konjonktürü" olarak adlandırdığım bir varsayım - 1993 "Sürme Ölçeği Konjonktürünün" projeksiyon oyunlarına uzmanlaşması).

http://eccc.hpi-web.de/report/2011/112/ (Daha sonra azaltmanın, $\epsilon$ ve indirgeme üfleme).

— Dana Moshkovitz
kaynak

Hâlâ verilecek en zayıf ayırma varsayımı nedir?

(1 - ϵ) \log n

$(1-\epsilon)\log n$ sertlik?

— Suresh Venkat

Dana, cevabın için teşekkürler! Takip eden bir soru, eğer sakıncası yoksa: bu "aptal" bir soru mu, yani m = poli (n) anlamına gelen herhangi bir üst düzey husus var mı, yoksa Soruma cevap Raz-Safra sertlik kanıtı?

— Edith Elkind

@Suresh: Demek istediğini sanıyorum

(1 - ϵ) \ln n

$(1-\epsilon)\ln n$ . Feige varsayımı (

N P ⊈ D T I M E (n^{\log \log n})

$NP\not\subseteq DTIME(n^{\log\log n})$ ) ve benim varsayımım ("Projeksiyon Oyunları Konjonktürü") kıyaslanamaz. İnancımın yakın gelecekte kanıtlanacağına inanıyorum.

— Dana Moshkovitz

@lostinjungle: Eğer m n'de polinom olmasaydı, azaltmayı bir "çoklu zaman azaltma" olarak düşünemezdiniz. Bir Raz-Safra / Arora-Sudan PCP'nin m = poli (n) vermesinin özel nedeni, PCP değişkeni / kısıtlaması + başına bir küme ve bunlara atama ile değişkenlerin ve kısıtlamaların sayısının yanı sıra Alfabenin boyutu polinomdur ve sorgu sayısı sabittir.

— Dana Moshkovitz

@DanaMoshkovitz: Teşekkürler! Yine de ilk iddianızı anladığımdan emin değilim. Aşağıdaki (varsayımsal) indirgeme ile ilgili sorun nedir: Vertex Cover (

k

$k$ ve Set Cover ile bir örnek oluştur

m = k^{3}

$m = k^3$ setler ve yer ölçüsü

n

$n$ , nerede

n

$n$ çözümü

n^{\log n} = m

$n^{\log n} = m$ ? Bu kesinlikle poli zamanda çalışır. Kuşkusuz, hiç böyle bir azalma görmedim, ama mantıklı olarak imkansız görünmüyor. Yoksa yanılıyor muyum? Tabii ki, orijinal sorum zaten cevaplandı, bu yüzden bunu göz ardı etmekten çekinmeyin. Sadece merak ediyorum ...

— Edith Elkind