-ormal koruma Turing makineleri

Kuantum üzerinde bazı yeni konuları Okuma (bilgisayar burada , burada ve burada ) bana bir çeşit gücü hakkında ilginç bir soru hatırlatabiliyorum makinesini koruyarak -norm.$\ell_p$

Karmaşıklık teorisinde çalışan insanlar için kuantum karmaşıklığına gidecek olan büyük bir giriş metni Fortnow'un Joshua Grochow tarafından buraya gönderilen makalesidir . Bu makalede, kuantum Turing makinesi genelleştirilmiş bir olasılıklı Turing makinesi olarak sunulmuştur. Temel olarak, olasılık makine durum bilgisi altında normalize ℓ 1 , yani -norm ∥ s ∥ 1 = 1 . Makinenin zaman evrimi bir uygulama ile verilir stokastik matris P , öyle ki ∥ P ler ∥ 1 = 1 , örneğin, p korur$s$$\ell_1$$\parallel s\parallel_1=1$$P$$\parallel Ps\parallel_1=1$$P$ normal. Bu nedenle, t zamanındakidurum P t s'dir (gösterim kesin olmayabilir, çünkü P'nin sol veya sağ çarpımı, s'nin bir satır mı yoksa sütun vektörü mü olduğuna veya P satırlarının veya sütunlarınınnormu koruyan alt uzaylarolduğuna bağlıdır). Bu yüzden, bu anlamda olasılık Turing makinesi a, ℓ 1 -norm koruyucu makinesi gösterilen E ℓ 1 .$\ell_1$$t$$P^ts$$P$$s$$P$$\ell_1$$M^{\ell_1}$

Daha sonra makine Turing kuantum bir durumuna sahip olarak görülebilir ile ∥ s ∥ 2 = 1 ve yekpare matris P (korur bu ℓ 2 , öyle ki -norms) P t lar süre içinde durumudur t burada ∥ P t s ∥ 2 = 1 . Bu bir ℓ 2 -norm koruyarak makinesi gösterilen E ℓ 2 .$s$$\parallel s\parallel_2=1$$P$$\ell_2$$P^ts$$t$$\parallel P^ts\parallel_2=1$$\ell_2$$M^{\ell_2}$

Genel olarak bir norm koruma makinesi M ℓ p ile gösterilir .$\ell_p$$M^{\ell_p}$

Yani sorularım:

(1) Sonlu p için normal koruma makinelerinin gücü nedir ? Daha resmi, biz herhangi bir için ispatlayabiliriz p ve q ise, q > p daha sonra bir dil vardır L ve makine M ℓ q öyle ki M ℓ q verimli karar verir L ve hiçbir makine yoktur M ℓ p verimli karar olduğunu L . Örneğin, bu sorunun genelleştirilmesi olabilir, N P ⊆ B Q P ?$\ell_p$$p$$p$$q$$q>p$$L$$M^{\ell_q}$$M^{\ell_q}$$L$$M^{\ell_p}$$L$$NP \subseteq BQP$

(2) ne olacak ? Burada durum vektörünün bileşenlerinin maksimum değeri 1'dir.$p=\infty$

(3) Bu sorular tekdüzeliğin ötesine geçmektedir, bu nedenle kuantum mekaniği ile anlaşılması beklenmemektedir. Genel olarak, operasyonlardaki unitarity kısıtlamasını gevşetirseniz hesaplama ile ne olur? Doğrusal olmayan operatörlere izin verme konusunda çalışmalar vardır (bkz. Aaronson 2005 ).

(4) Belki de en önemlisi evrensel mi? Bunun açık olduğunu düşünüyorum, çünkü belirli durumlar için evrenseldir. Peki olduğunda evrenselliğe ne olur ?$p=\infty$

Bu soruların tam bir cevabı değil, yorum olarak yazmak çok uzun. Önceki yorumumu genişletiyor.

“Kuantum mekaniğinin aksiyomları biraz değiştirilirse hesaplamaya ne olur?” Sorusu, Scott Aaronson tarafından eğlenceli bir makale [Aar04] tarafından ayrıntılı olarak ele alınmaktadır. Sorularınızın aslında [Aar04] Bölüm 2'nin ilk yarısında yanıtlandığına inanıyorum.

Aaronson, p> 0 ve p ≠ 2 ise, tüm vektörler için p-normu koruyan bir matrisin mutlaka genelleştirilmiş bir permütasyon matrisi (permütasyon matrisi ve diyagonal matrisin bir ürünü) olduğunu gösterir. Aynı durumun p = ∞ durumunda da geçerli olduğunu belirtiyor. Bütün bunlar hem ℝ hem de ℂ için geçerlidir. Bunun p = 1 örneğini içerdiğine dikkat edin: stokastik matrisler negatif olmayan vektörler için 1-normu korur, ancak genel olarak tüm vektörler için geçerli değildir.

Sanırım [For00] 'de olduğu gibi genelleştirilmiş olasılıklı bir Turing makinesi, yalnızca deterministik bir Turing makinesi ise genel geçiş matrisi olarak genelleştirilmiş bir permütasyon matrisine sahip, ancak elimde bir kanıt yok.

Aaronson ayrıca makaledeki kuantum mekaniğinin aksiyomlarının diğer bazı modifikasyonlarını tartışıyor. Örneğin, ölçüm kuralını (izin verilen kapılar kümesi yerine) değiştirirsek, x sonucu olasılık | α _x | ^p / ∑ _y | α _y | ^p , ki burada α _y | y⟩ genliğidir, o zaman bu "kuantum bilgisayarı" p = 2 olmadığı sürece polinom zamanında PP'deki (NP-tam problemler dahil) herhangi bir problemi çözebilir (Öneri 5).

Referanslar

[Aar04] Scott Aaronson. Kuantum mekaniği teori alanında bir ada mıdır? Växjö Konferansı “Kuantum Teorisi: Vakıfların Yeniden Değerlendirilmesi”, 2004. arXiv: quant-ph / 0401062 v2.

[For00] Lance Fortnow. Bir karmaşıklık teorisyeninin kuantum hesaplama görüşü. Bilgi İşlemde: Avustralasya Teorisi Sempozyumu (CATS 2000), s. 58-72, Ocak 2000. http://dx.doi.org/10.1016/S1571-0661(05)80330-5

$p \not\in \{1,2\}$$\ell_p$$\left| \psi_i \right|^p$

$\ell_p$$\ell_1$$\ell_2$$\Omega(N^{1/p})$$\ell_\infty$$\ell_p$$\ell_q$$1/p+1/q=1$$\ell_p$$p$