Sınırlı bir ordinal indüksiyonla Sistem F için zayıf normalleşmeyi kanıtlayabilir miyiz

16

Basit tipli lambda hesabı için zayıf normalizasyon üzerinde indüksiyonla kanıtlanabilir (Turing) . Doğal sayılarla yinelenen (Gentzen) genişletilmiş bir lambda hesabı, indüksiyonla zayıf bir normalleşme stratejisine sahiptir . $\omega^2$ $\epsilon_0$

Sistem F (veya zayıf) ne olacak? Bu tarzda zayıf bir normalizasyon kanıtı var mı? Değilse, hiç yapılabilir mi?

— Kaveh
kaynak

1

Bu yeterli anlamlılık ile her tutarlı (sayılabilen) teorisi vardır belirtme muhtemelen yararlıdır "" kanıt-teorik sıralı daha az

kanıtlanabilir verilen teoride sağlam temelli değil en küçük hesaplanabilir sıralı olarak tanımlanır. Hile bu ordinali "doğal" bir şekilde tarif ediyor.

ω_{C K}

$\omega_{\mathrm{CK}}$

— cody

10

Yapıcı kanıt teorisi (yapıcı ordinaller teorisine yakından bağlı) ve ikinci dereceden imkansız aritmetik (Ulrik'in belirttiği gibi Sistem F'ye güç olarak denktir) arasındaki ilişkinin en kapsamlı araştırması Girard'dır (1989). Orada, gerçekten takip etmediğim dilatörler teorisini (1981) temel alıyor, ancak bence aslında üst düzey Skolemizasyonun yapıcı olmayan bir teorisini sağlıyor.

Anladığım kadarıyla, Bishop-Martin-Löf anlamda yapısal olarak formül ifade edemezsiniz , çünkü herhangi bir birinci dereceden indüksiyon şeması ekleyerek ortadan kaldıramayacağınız bir şekilde imkansızdırlar. $\Sigma^1_2$

Bir basitçe ki bir sıra teorisyene düşündüren hatırlıyorum şart Sistem F üzerinde makul bir toplam sipariş empoze etmeye yönelik Eğer polimorfik lambda hesap dayalı bir tür teoride bir impredicative yapılandırmacılık zemin olabilir ve Girard SN kanıtı gelen azalma aday tekniğini kullanmak onlardan aldığınız denklik sınıflarını çağıran yapıların evreni; akıllıca bir şey söyledi, bunu işe yarayabileceğini söyleyerek götürdüm, ama hırsızlığın dürüst işe göre tüm avantajlarına sahip olacağını söyledi. Çalışması için, set teorisinde bu tür ordinallerin varlığını kanıtlayabileceğiniz kadar iyi değildir, sipariş için yapıcı bir trikotomi kanıtı gerekir.

Özetlemek gerekirse, Piskopos-Martin-Löf'e bağlı düzenli sezgisel yapı kavramı ile bildiğim literatür kesinlikle hayır. Dürüst zahmetten uzak durursanız ve öngörülemez bir yapılandırmacılığa sahip olursanız, tahminimce muhtemelen yapılabilir. Doğal olarak, Sistem T'nin gerekli trikotomiyi yapısal olarak kanıtlamak için daha güçlü bir teoriye ihtiyacınız olacaktır, ancak Endüktif Yapılar Hesabı bariz bir aday sağlar.

Referanslar

Girard, Jean-Yves (1981), -lojik. I. Dilatörler, Matematiksel Mantık Yıllıkları 21 (2): 75-219. $\Pi^1_2$
Girard (1989) İspat Teorisi ve Mantıksal Karmaşıklık, cilt. Ben , Napoli: Bibliopolis. Cilt II yoktur.

— Charles Stewart
kaynak

13

$\Pi^0_2$ $\omega^2$

$\varepsilon_0$ $\Gamma_0$

Umarım bir gün birisi ikinci dereceden aritmetik için herkesin doğal olacağı konusunda anlaşmaya varır ve daha sonra bu, Sistem F için zayıf normalleşmeyi kanıtlamak için dürüst bir şekilde kullanılabilir.

— Ulrik Buchholtz
kaynak

11

$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

Ayrıca, ikinci derece aritmetik oldukça güçlü olduğunu ve "kanıt teorik ordinal" için hiçbir yapıcı üst sınır henüz bilinmemektedir (Ordinal analiz sanatı, bölüm 3 ).

Bu yapıcı ordinal sınırın, talep ettiğiniz indüksiyonu yapmak için gerekli olan şey olduğunu düşünüyorum.

— jbapple
kaynak