Belirli ise karar

Bir karar verirken karmaşıklığı ne devre n giriş bit ve n, çıkış bitleri bir permütasyon hesaplar { 0 , 1 } , n ? Başka bir deyişle, { 0 , 1 } n'deki her bit dizginin bir girdi için devrenin bir çıktısı olup olmadığı? Çalışılan bir soruna benziyor, ancak referans bulamıyorum.$\mathsf{NC}^0$$n$$n$$\{0,1\}^n$$\{0,1\}^n$

Sertlik

Soru ile ilgili yorumunuzu takiben, her çıkış bitinin en çok k giriş bitine bağlı olduğu bir “NC ⁰ _k devresi” olan bir devre çağıracağız. Bu terimi kullanarak, NC ⁰ ₅ devrelerinde probleminiz coNP-tamamdır . Yani, aşağıdaki sorun coNP-tamamlandı.

Örnek : bir Boolean devresi Cı ile , n , giriş bit ve n, her bir çıkış bit en fazla beş giriş bit bağlıdır çıkış bitleri.
Soru : {0,1} ^n'den kendi kendine eşleme C bijektifi ile hesaplanıyor mu?

Kaveh’in dediği gibi, her çıktı bittiğinin bağlı olduğu girdi bitlerinin sayısıyla sınırlı bile olsa, açıkça coNP’de. CoNP'nin sertliğini ispatlamak için mevcut sorunun tamamlayıcısına 3SAT'yi düşüreceğiz. İndirgeme ile ilgili ana fikir, Durand tarafından yayınlanan ve [Dur94] tarafından, soru üzerine bir yorumda bahsettiğim makalede kullanılanla aynıdır, ancak tüm indirgeme durumumuzda çok daha kolaydır.

N değişkenleri ve m cümlecikleri içeren bir 3CNF formülü φ göz önüne alındığında , ( n + m ) giriş bitleri ve ( n + m ) çıkış bitleri olan bir Boole devresi C oluştururuz . Bu gibi giriş bit etiket x ₁ , ..., x _{, n} , y ₁ , ..., y _m , ve benzeri gibi, çıkış bitleri x ' ₁ , ..., x ' _{, n} , z ₁ , ..., z _m . Girdilerin x bit olduğunu düşünüyoruz.₁ , ..., x _n bir gerçeği atama belirtmek n değişkenler cp .

• X ' _i = x _i 1≤ için i ≤ n . Kendisine, birinci n giriş bit her zaman ilk kopyalanır n çıkış bit.
• 1≤ için i ≤ m , eğer i inci maddesi cp memnun, daha sonra Z _i = y _i ⊕ y _{i + 1} simge modülo yorumlanır, m . Aksi takdirde, z _i = y _i .

Her çıkış bitinin en fazla beş giriş bitine bağlı olduğunu unutmayın. İndirgenmek doğruluğu kanıtı ihmal, ancak kilit fikir (I [Dur94] ödünç) halinde olmasıdır φ karşılanabilir ve giriş bit x ₁ , ..., x _{, n} bir tatmin atama ayarlanır cp , daha sonra m çıkış bitleri z ₁ , ..., z _m çift eşlik olması kısıtlanır ve dolayısıyla devre bir permütasyon olamaz. Diğer taraftan, giriş bit ise x ₁ , ..., x _{, n} olmayan bir tatmin edici atama ayarlanır cp , daha sonra, çıkış bitleri z₁ , ..., z _m şey için ayarlanabilir; Bundan dolayı, eğer sat tatmin edilemez ise, o zaman devre bir permütasyondur.

tractability

İzlenebilir tarafta, NC ⁰ ₂ devrelerinde probleminiz P'dedir . Bu, aşağıdaki gibi gösterilmiştir. Genel olarak, bir permütasyon için bir Boole devresindeki her çıkış biti dengelidir ; yani, tam olarak yarı giriş şeritlerinin {0,1} her dengeli Boole fonksiyonu, ancak 1 olarak çıkış bitini ayarlamak ² {0,1} olarak bir afin ; yani, tek bir giriş bitinin bir kopyası, iki giriş bitinin XOR değeri veya bunların ihmal edilmesi. Bu nedenle, önce her bir bit bitinin dengeli olup olmadığını kontrol edebilir ve ardından Gauss elemeliğiyle bijektiviteyi kontrol edebiliriz.

NC ⁰ ₃ devreleri durumunda veya NC ⁰ ₄ devreleri durumunda karmaşıklığı bilmiyorum .

Referanslar

[Dur94] Bruno Durand. 2B hücresel otomatların ters çevrilmesi: bazı karmaşıklık sonuçları. Teorik Bilgisayar Bilimi , 134 (2): 387-401, Kasım 1994. DOI: 10.1016 / 0304-3975 (94) 90244-5 .