Simetri ve hesaplamalı zorlanabilirlik arasındaki ilişki?

-sabitli noktası serbest otomorfizm problemi gösteren bir grafiktir otomorfizm en azından hareket sorar k ( n ) düğümleri. Herhangi bir c > 0 için k ( n ) = n c ise , problem N P- eksiktir .$k$$k(n)$$NP$$k(n)=n^c$$c$

Bununla birlikte, ise, problem polinom zamanıdır. Grafik İzomorfizm Problemine indirgenebilir. Eğer k ( n ) = O ( log n / günlük bir günlük n ) o zaman sorun olan Grafik Otomorfizm sorununa Turing eşdeğer polinom zamanı K p I ve olduğu bilinmemektedir N P Komple. Grafik Otomorfizması Sorunu, Grafik İzomorfizmi sorununa indirgenebilir.$k(n)=O(\log n)$$k(n)=O(\log n/\log \log n)$$NPI$$NP$

Grafik Otomorfizmleri Tarafından Taşınan Tepe Noktalarının Sayımının Karmaşıklığı Üzerine, Antoni Lozano ve Vijay Raghavan Yazılım Teknolojisi Vakfı, LNCS 1530, s. 295-306

Görünüşe göre, bulmaya çalıştığımız nesnenin simetrisini arttırdıkça hesaplama sertliği artar (otomorfizm tarafından taşınması gereken düğüm sayısıyla belirtildiği gibi). Görünüşe göre bu, polinom zamanının eksikliğini açıklayabilir NP-tam versiyondan Graph Automorphism'e (GA) dönüşün azaltılması

Simetri ve sertlik arasındaki bu ilişkiyi destekleyen zor bir sorunun başka bir örneği var mı?

Bu tam olarak simetri ve sertlik arasındaki "aynı" ilişki değildir, ancak Boole işlevinin simetrileri ile devre karmaşıklığı arasında yakın bir ilişki vardır. Görmek:

Babai, L., Beals, R. ve Takácsi-Nagy, P. Simetri ve karmaşıklık , STOC 1992.

İşte gösterdikleri. Let permütasyon grupları bir dizisi. Let s ( G ı ) yörüngeleri sayısını göstermek G ı üzerindeki indüklenmiş eylem { 0 , 1 } ı (koordinatlar permütasyon ile). Let F ( G ) dil sınıfını belirtmektedir , L , öyle ki L ∩ { 0 , 1 } , n altında değişmez G n . Sonra F'deki tüm diller$G_{i} \leq S_{i}$$s(G_{i})$$G_{i}$$\{0,1\}^{i}$$\mathcal{F}(G)$$L$$L \cap \{0,1\}^{n}$$G_{n}$ devir sayısı en fazla p o l y ( s ( G ) ) ve derinliği en fazla p o l y ( log ( s ( G ) ) içerir ve bu esasen sıkıdır.$\mathcal{F}(G)$$poly(s(G))$$poly(\log(s(G))$

Ters yönde, çeşitli olan şahit setleri simetrileri çok sayıda problem olmak sonunda c o bir M (gibi G I ) ve benzeri değil , N p sürece Komple P , H çöker. Aslında, şu kağıt gösterileri olduğunu N P kimin tanık setleri var simetrileri çok düşük olan sorunlar P P :$NP$$coAM$$GI$$NP$$PH$$NP$$PP$

Arvind, V., Vinodchandran, NV Grup tarafından tanımlanabilir dillerin sayma karmaşıklığı . Theoret. Comput. Sci. 242 (2000), no. 1-2, 199-218.

(Not: " için düşük" mü , " N P- komplet olma olasılığı düşük" mü belirtirse , havada bildiğim kadarıyla biraz yukarıdadır. Toda ve Ogiwara , P P P H ⊆ B P ⋅ P P. Dolayısıyla "derandomizasyon" varsayımı altında B P ⋅ P P = P P , N P aslında P P için düşüktür , bu yüzden P P için düşük olmak N P olmanın önünde bir engel değildir.$PP$$NP$$PP^{PH} \subseteq BP \cdot PP$$BP \cdot PP = PP$$NP$$PP$$PP$$NP$-tamamlayınız. Diğer taraftan, bağlı bir torpil vardır Beigel hangi göreceli düşük değildir P P ).$NP$$PP$

Yukarıdaki her polinom zamanlı Karar verilebilen denklik bağıntısı bir polinom zamanlı tam değişmez varsa (fonksiyonu olarak Benzer şekilde bu şekilde f ( x ) = f ( y ) ancak ve ancak X ~ y , daha sonra herhangi bir) N P tanık sorun tanıklarının otomorfizm grubu için gizli alt grup problemini azaltan çok sayıda simetriye sahip olmak. Kuşkusuz, buradaki hipotezin tutulması pek olası değildir, ancak simetri ve kuantum karmaşıklığı arasında bir bağlantı sağlar.$f$$f(x) = f(y)$$x \sim y$$NP$

Son olarak, Mulmuley- Sohoni Jeomektrik Karmaşıklık Teorisi programı esas olarak sertliği kanıtlamak için simetri kullanmakla ilgilidir, ancak simetri-sertlik bağlantısı daha ince ve daha az doğrudandır.

Çok sayıda simetri sergileyen yapılandırılmış SAT örneklerinin çözümü, rastgele SAT örneklerinden daha kolay görünür. Gerçek dünya sorunlarının SAT'a kodlanması her zaman yapılandırılmış örneklere yol açar (bu şaşırtıcı değildir, çünkü karşılaştığımız gerçek dünya sorunlarının simetrileri vardır). En iyi eksiksiz SAT çözümleyicileri, gerçek dünya örneklerini 1.000.000 değişkene kadar verimli bir şekilde çözebilir, ancak bunların hiçbiri, bildiğim kadarıyla, rastgele değişkenleri, örneğin 10.000 değişkenle ( Edward A. Hirsch'de) verimli bir şekilde çözemez. anasayfa , en iyi tam SAT çözücülerin bile takıldığı şaşırtıcı derecede küçük rastgele örnekler bulmak mümkündür). Dolayısıyla, ampirik bir bakış açısından, simetrilerin varlığı sertliği azaltmaktadır.