Böyle bir matris var olabilir mi?

Çalışmam sırasında aşağıdaki problemle karşılaştım:

Aşağıdaki özelliklere sahip, herhangi bir için bir -matrix bulmaya çalışıyorum : $n \times n$ $(0,1)$ $M$ $n > 3$

belirleyicisi eşittir. $M$
Boş olmayan alt-gruplar için ile, alt yalnızca ve olması durumunda tek determinantı vardır . $I,J\subseteq\{1,2,3\}$ $|I| = |J|$ $M^I_J$ $I=J$

Burada arasında submatrix belirtmektedir indisler ile satır çıkararak meydana ve indisler sütunlar . $M^I_J$ $M$ $I$ $J$

Şimdiye kadar, rastgele örnekleme yoluyla böyle bir matris bulmaya çalıştım, ancak sadece birincisi dışındaki tüm özelliklere sahip bir matris bulabiliyorum , yani, matrisin her zaman garip bir belirleyicisi var. Çeşitli boyutlar ve farklı giriş / çıkış kümelerini başarılı olmadan denedim. Bu beni düşündürüyor:

Gereksinimler arasında, eşzamanlı olarak doğru olmalarını engelleyen bir bağımlılık var mı?

veya

Böyle bir matrisin olması mümkün mü ve birisi bana bir örnek verebilir mi?

Teşekkürler, Etsch

— Etsch
kaynak

Rastgele altkümeler veya altkümeler mi demek istediniz?

— Suresh Venkat

Öyle görünüyor ki, ve birbiriyle çelişen , çünkü rastgele bir alt başka bir rastgele alt olarak durduracak hiçbir şey yoktur . Yoksa bunun tek bir alt küme , misiniz?

det (M_{o_{1}}^{i_{1}}) \equiv 1 (\mod 2)

$\det(M^{i_1}_{o_1}) \equiv 1 \pmod{2}$

det (M_{o_{2}}^{i_{1}}) \equiv 0 (\mod 2)

$\det(M^{i_1}_{o_2}) \equiv 0 \pmod{2}$

o_{1}

$o_1$

o_{2}

$o_2$

{o_{1}, o_{2}, o_{3}}

$\{o_1,o_2,o_3\}$

{i_{1}, i_{2}, i_{3}}

$\{i_1,i_2,i_3\}$

— Peter Shor

Evet, ve iki alt kümesi sabittir. Örneğin, bir kişi , , ve , , ve sonra soru şudur: Bir (7x7) matrisi ki , , ve benzeri, tanımlanan 20 özelliğe göre.

I = {i_{1}, i_{2}, i_{3}}

$\mathcal{I} = \{i_1,i_2,i_3\}$

O = {o_{1}, o_{2}, o_{3}}

$\mathcal{O} = \{o_1,o_2,o_3\}$

n = 7

$n=7$

i_{1} = 1

$i_1 = 1$

i_{2} = 2

$i_2 = 2$

i_{3} = 5

$i_3 = 5$

o_{1} = 2

$o_1 = 2$

o_{2} = 3

$o_2 = 3$

o_{3} = 4

$o_3 = 4$

M

$M$

det (M) \equiv 0 (\mod 2)

$\det(M) \equiv 0\pmod{2}$

det (M_{2, 3, 4}^{1, 2, 5}) \equiv 1 (\mod 2)

$\det(M^{1,2,5}_{2,3,4}) \equiv 1 \pmod{2}$

det (M_{2, 3}^{1, 2}) \equiv 1 (\mod 2)

$\det(M^{1,2}_{2,3}) \equiv 1\pmod{2}$

— Etsch

Sadece hallediverir , , , , , soru basitleştirmek ve okunması daha kolay hale getirmek için?

i_{1} = 1

$i_1 = 1$

i_{2} = 2

$i_2 = 2$

i_{3} = 3

$i_3 = 3$

o_{1} = 1

$o_1 = 1$

o_{2} = 2

$o_2 = 2$

o_{3} = 3

$o_3 = 3$

— Jukka Suomela

Netlik için düzenlenmiştir.

— Jeffε

Böyle bir matris yoktur.

Desnanot Jacobi kimlik için söylüyor , böylece kullanılarak Bu, Ancak gereksinimleriniz, sol tarafın 0 (mod 2) ve sağ tarafın 1 (mod 2) olmasını ve uyumsuz olduklarını gösterir. $i \neq j$

det M_{i j}^{i j} det M = det M_{i}^{i} det M_{j}^{j} - det M_{i}^{j} det M_{j}^{i}

$\det M_{ij}^{ij} \det M = \det M_i^i \det M_j^j -\det M_i^j \det M_j^i$

det M_{12}^{12} det M = det M_{1}^{1} det M_{2}^{2} - det M_{1}^{2} det M_{2}^{1}

$\det M_{12}^{12} \det M = \det M_{1}^{1} \det M_{2}^{2} - \det M_{1}^{2} \det M_{2}^{1}$

— Peter Shor
kaynak

Güzel! Ancak, şimdi kafam karıştı çünkü asker, sadece sorudaki ikinci merminin tatmin olabileceğini söyledi, bu da alıntıladığınız kimliğe aykırı.

— Tsuyoshi Ito

@Tsuyoshi: İkinci mermi kimlikle nasıl çelişiyor? Kimlik matris tatmin ikinci kurşunu, ve bu kontrol etmek kolaydır Sağlama, Desnanot-Jacobi kimliğini. (Eğer cevapma eklediğim kimlikteki bir koşulu ihlal eden almadığınız sürece .)

I

$I$

I

$I$

i = j

$i = j$

— Peter Shor

Üzgünüm, önceki yorumum sahte idi ve sanırım düşündüğümden daha çok kafam karıştı. Sorudaki gereklilik neden cevabınızdaki ikinci denklemin sol tarafını 0 mod 2 olmaya zorluyor?

— Tsuyoshi Ito

Şimdi ne demek istediğini anlıyorum. İlk satırı ve ilk sütunu kaldırmanız gerekmedi.

— Tsuyoshi Ito

@Etsch: düşünüyordum ı yazarken . Sanırım şimdi doğru.

M

$M$

M_{1, 2, 3}^{1, 2, 3}

$M^{1,2,3}_{1,2,3}$

— Peter Shor