Denklemler modül sistemleri çözümü mi

Ben keyfi k (ve asal güçlere özel bir ilgi ile) için doğrusal denklemler modulo k çözme karmaşıklığı , özellikle:

Sorun. Belirli bir sistem için içinde denklemlerin doğrusal n bilinmeyenler modülo k , herhangi bir çözüm var varız?$m$$n$$k$

Kağıt üstündeki için soyut olarak Yapısı ve logspace-MOD sınıfların önemi sınıflarında Mod _k L , Buntrock, Damm, Hertrampf ve Meinel iddia onlar "olduğunu kanıtlayarak onların önemini göstermektedir ki sonlu halkalar üzerinde lineer cebir tüm standart problemler bu sınıflar için tamamlandı$\mathbb Z/k\mathbb Z$ "# :. Daha yakından incelendiğinde, hikaye daha karmaşıktır. Örneğin, Buntrock ve ark. ( Kaveh tarafından bulunan daha önceki ve serbestçe erişilebilir bir taslakta bir kanıt taslağı ile , teşekkürler!) Doğrusal denklem sistemlerinin çözülmesinin bunun yerine tamamlayıcı sınıf coMod _k L' de olduğunu gösterk asal. Bu sınıf eşit olacak şekilde bilinmemektedir Mod _k L için k lineer denklem sistemleri çözümü olmadığını mod hakkında ne endişe ediyorum herhangi bir açıklamalar yapmazlar gerçeği - yani akla kompozit, ama asla k bile edilir içeriyordu içinde Comod _k L için k kompozit!

Soru: Tüm pozitif klar için coMod _k L' de doğrusal denklem modulo k sistemlerinin çözümü var mı ?

Denklemler daha yüksek bir güç modulo size sistemlerini çözebilecek biri varsa q asal bir p , onları modulo çözebilir p sıra; böylece denklemler modül sistemleri çözümü q olduğu Comod _s L -Sert. Bu sorunun Mod _q L' de olduğunu gösterebilseydiniz , tüm k için Mod _k L  =  coMod _k L' yi göstereceksiniz . Bunu kanıtlamak zor olabilir. Ama coMod _k L'de mi?

Ben biz bu soruya olumlu cevap verebilir düşünüyorum söylemek mutluyum: doğrusal bir uyum mümkün modülo olup olmadığına karar olduğunu k olan Comod _k L -tamamlamak.

Aslında bu problemi asal güçlerin özel durumuna indirgeyebiliriz. Biri şunu gösterebilir:

Normal Form. Sınıf Comod _k L langauges oluşur L biçimi , L  =  L _{p 1}  ∩  L _{p 2}  ∩ ... ∩  L _{p r}  , L _{s j}  ∈  Comod _{s j}  L ve P _J asal faktörler üzerinde aralıkları k .

Kalan Teoremi ile, bölme k'nin herbiri modulo denklem sistemi için herhangi bir çözüm, aynı sistem, k k için bir çözüme yol açar . Dolayısıyla , üzerinden lineer denklem sistemlerinin çözülmesi , coMod _{p j}  L'de bulunuyorsa , k mod denklem sistemlerinin çözülmesi , coMod _k L'de bulunur .$p_{\!j}^{e_j}$$p_{\!j}^{t_j}$

Tarafından tarif edilen standart bir algoritma, var McKenzie ve Cook kongrüanslar için, yani (kendi nullspace için kapsayan seti yapılandırmayı için bir ana güç modulo doğrusal azaltmak için bir x  =  y , belirli bir halka üzerinde, [arasında nullspace için bir temel oluşturmak  A  |  y  ] ve nihai katsayısı −1) olan herhangi bir çözüm olup olmadığını görün; ve daha sonra nullspaces modulo primerlerinin ve matris çarpma modulo prime kuvvetlerinin inşasında null uzayları modulo prime güçlerinin inşasını azaltmak için. İkinci görevlerin her ikisi de, ilgili matrisleri oluşturabilmeniz koşuluyla, coMod _k L için mümkün olan problemlerdir .

McKenzie ve Cook'un azaltılmasında yer alan matrislerin kendilerinin matris çarpımı ve (çok önemli bir şekilde) sabit bir faktörle bölünebileceği hesaplanabilir. Neyse ki, ana güçler için, ilgili matrislerin katsayıları, coMod _p L- makineleri için bir kehanet kullanılarak çalışma bandında hesaplanabilir ; ve bir sabit ile bölme yapılabilir NC ¹ içinde tekrar uygulanabilir, Comod _s L . Bu nedenle, tüm sorunun sonuçta coMod _k L'de yapılabileceği ortaya çıktı .

Tüm ayrıntılar için bkz. [ Arxiv: 1202.3949 ].